MODUL PRAKTIKUM MATA KULIAH

KOMPUTASI NUMERIK

MODUL 2: EKSPANSI DERET TAYLOR, FOURIER, DAN KONVERGENSI

JURUSAN TEKNIK KOMPUTER DAN INFORMATIKA

POLITEKNIK NEGERI BANDUNG

2026

LEMBAR PERSETUJUAN

EKSPANSI DERET TAYLOR, FOURIER, DAN KONVERGENSI

Proses	Jabatan	Nama	Tanda Tangan
Disusun oleh	Pengampu Praktikum Mata Kuliah Komputasi Numerik
Diperiksa oleh	Ketua Kelompok Bidang Keahlian (KBK) Multimedia
Disahkan oleh	Ketua Program Sarjana Terapan Teknik Informatika

PUBLISHED BY

Jurusan Teknik Komputer & Informatika Politeknik Negeri Bandung

Jl. Gegerkalong Hilir, Desa Ciwaruga, Kecamatan Parongpong, Kabupaten Bandung Barat, Jawa Barat 40559


Penanggung jawab	: Iwan Awaludin
Penanggung jawab	: Muhammad Rizqi Sholahuddin
Tim Penulis	: Tim Praktikum Komputasi Numerik

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat karunia dan rida-Nya "EKSPANSI DERET TAYLOR, FOURIER, DAN KONVERGENSI" telah selesai disusun.

Penyusunan "EKSPANSI DERET TAYLOR, FOURIER, DAN KONVERGENSI" ini bertujuan untuk memberikan petunjuk dan prosedur operasional baku (POB) mengenai proses kegiatan praktikum, mulai dari tahap persiapan, pelaksanaan, pelaporan, dan evaluasi untuk penilaian. Melalui modul ini diharapkan proses praktikum dapat mudah dipahami, baik oleh mahasiswa dan dosen di lingkungan Jurusan Teknik Komputer dan Informatika Politeknik Negeri Bandung.

Jika Modul 1 membahas berapa besar galat yang dihasilkan komputer, Modul 2 ini membahas bagaimana galat tersebut sengaja "direkayasa" agar terkendali. Secara sederhana, matematika menyediakan fungsi mulus seperti $\sin (x)$ dan $e^{x}$ , tetapi komputer hanya pandai menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, dan membagi. Deret Taylor (Taylor series) menjembatani keduanya dengan menerjemahkan fungsi yang rumit menjadi deret pangkat (power series) yang dapat dihitung bertahap sampai galatnya sekecil yang kita mau; hampir semua metode pada modul-modul selanjutnya (turunan numerik, integrasi numerik, hingga Runge-Kutta) diturunkan dari pemangkasan deret ini. Deret Fourier (Fourier series) melakukan penerjemahan yang berbeda: seperti prisma memecah cahaya putih menjadi spektrum pelangi, Fourier memecah sinyal periodik (periodic signal) menjadi frekuensi-frekuensi dasar, fondasi pemrosesan sinyal dan analisis frekuensi. Pada Modul 2 ini mahasiswa mengimplementasikan kedua deret tersebut di Python, mengukur laju konvergensinya (rate of convergence) secara eksperimental, dan bertemu fenomena klasik Gibbs (Gibbs phenomenon) pada rekonstruksi gelombang persegi (square wave).

Semoga modul ini bermanfaat untuk memperkuat pelaksanaan pengajaran di Jurusan Teknik Komputer & Informatika Politeknik Negeri Bandung, sehingga transparansi dan akuntabilitas kinerja bidang akademik dapat tercapai.

Bandung, 2026

DAFTAR ISI

Judul	Halaman
LEMBAR PERSETUJUAN	i
KATA PENGANTAR	iii
DAFTAR ISI	iv
DAFTAR GAMBAR	v
DAFTAR TABEL	vi
IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM	vii
CAPAIAN PEMBELAJARAN	viii
BAGIAN I. BAHAN KAJIAN	1
I.1. Penggunaan Pedoman	1
I.2. Ruang Lingkup	1
I.3. Teknologi	1
I.4. Studi Kasus	2
I.5. Konsep yang Digunakan	2
BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)	3
II.1. Peralatan Praktikum	3
II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja	4
BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)	6
III.1. Teori Singkat: Deret Taylor, Fourier, dan Konvergensi	6
III.2. Environment & Setup Praktikum	8
III.3. Task I: Implementasi Deret Taylor sin(x)	9
III.4. Task II: Analisis Laju Konvergensi	11
III.5. Task III: Deret Fourier Gelombang Persegi & Fenomena Gibbs	13
III.6. Task IV: Komputasi Koefisien Fourier Secara Numerik	15
III.7. Kesimpulan Praktikum	17
III.8. Tugas Praktikum	18
III.9. Soal Latihan HOTS (Pengayaan)	19
BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN	21
BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM	22
DAFTAR PUSTAKA	23
LAMPIRAN	24

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Aproksimasi Deret Taylor sin(x) pada Titik Ekspansi x₀ = 0

Gambar 2. Laju Konvergensi Deret Taylor e^x pada x = 1 dan x = 2

Gambar 3. Rekonstruksi Gelombang Persegi dengan Deret Fourier

Gambar 4. Fenomena Gibbs di Sekitar Diskontinuitas

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Pemetaan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Terhadap Modul Praktikum Komputasi Numerik

Tabel 2. Suku-suku Deret Maclaurin Fungsi Dasar

Tabel 3. Galat Absolut Aproksimasi sin(x) untuk Beberapa Titik dan Orde

Tabel 4. Rasio Galat Antar Iterasi Deret e^x di x = 1

Tabel 5. Nilai Maksimum Rekonstruksi Fourier (Overshoot Gibbs)

Tabel 6. Ringkasan Perbandingan Deret Taylor dan Deret Fourier

Tabel 7. Standar Penamaan Proyek dan Berkas Pengumpulan Praktikum Komputasi Numerik

Tabel 8. Rubrik dan Matriks Kriteria Penilaian Evaluasi Praktikum

IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM

Atribut	Keterangan
Mata Kuliah	: Komputasi Numerik (Praktikum)
Mata Kuliah (Inggris)	: Numerical Computing (Practicum)
Kode Mata Kuliah	: 25TI3101
SKS	: 3 (2 Teori, 1 Praktikum)
Sifat Pengambilan	: Wajib
Bentuk Pembelajaran	: Tutorial, Praktik
Metode Pembelajaran	: Problem Based Learning, Project Based Learning
Media	: Offline / Daring (Google Colab)
Semester	: V
Kelompok Mata Kuliah	: Mata Kuliah KBK Multimedia
Program Pendidikan	: Sarjana Terapan (D-4) Prodi Teknik Informatika
Jurusan	: Teknik Komputer & Informatika
Penyusun	: Iwan Awaludin

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Tabel 1. Pemetaan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Terhadap Modul Praktikum Komputasi Numerik

CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH	INTEGRASI DENGAN MODUL PRAKTIKUM
CPMK 1 Mahasiswa mampu menjelaskan konsep galat numerik, galat pemotongan, dan galat pembulatan dalam komputasi.	MODUL 1
CPMK 2 Mahasiswa mampu menerapkan algoritma numerik untuk menyelesaikan masalah matematika yang kompleks.	MODUL 3, 4, 5, 6
CPMK 3 Mahasiswa mampu menganalisis kestabilan, akurasi, dan konvergensi suatu metode numerik.	MODUL 2, 3, 5, 6
CPMK 4 Mahasiswa mampu mengimplementasikan metode numerik menggunakan bahasa pemrograman.	MODUL 2, 4, 5, 8
CPMK 5 Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan rekayasa dan sains secara numerik dengan pendekatan yang sistematis dan kritis.	MODUL 7, 9, 10, 11

BAGIAN I. BAHAN KAJIAN

I.1. Penggunaan Pedoman

Pedoman ini memberikan instruksi sistematis mengenai tata cara persiapan, pengoperasian, penyelesaian tugas praktikum ekspansi deret Taylor dan Fourier untuk mata kuliah Komputasi Numerik, hingga mekanisme evaluasi. Baca BAGIAN II sebelum praktikum dimulai, kerjakan BAGIAN III secara berurutan dari Task I, lalu kumpulkan hasil pekerjaan sesuai BAGIAN IV.

I.2. Ruang Lingkup

Kegiatan mencakup implementasi deret Taylor/Maclaurin (Taylor/Maclaurin series) untuk fungsi eksponensial dan trigonometri, pengukuran laju konvergensi (rate of convergence) melalui rasio galat (error ratio) antar iterasi, pengaruh jarak titik evaluasi terhadap titik ekspansi (expansion point), rekonstruksi gelombang persegi (square wave) dengan deret Fourier beserta fenomena Gibbs (Gibbs phenomenon), dan komputasi numerik koefisien Fourier (Fourier coefficients) menggunakan jumlah Riemann (Riemann sum).

I.3. Teknologi

Berikut adalah teknologi yang digunakan pada modul praktikum ini:

Bahasa Pemrograman Python (versi 3.10 atau 3.11).
Google Colaboratory (Google Colab), yaitu lingkungan komputasi berbasis cloud yang tampilannya seperti Jupyter Notebook, atau Jupyter Notebook / JupyterLab yang terinstal lokal.
Library NumPy, terpasang otomatis pada Google Colab atau via pip install numpy.
Library Matplotlib untuk visualisasi hasil (pip install matplotlib).
Peramban modern (Google Chrome / Mozilla Firefox) untuk mengakses Google Colab.

I.4. Studi Kasus

Mahasiswa diminta membangun sebuah notebook pembangkit sinyal (signal generator): fungsi $\sin (x)$ diaproksimasi dengan deret Taylor pada berbagai orde, lalu gelombang persegi (square wave), sinyal digital paling mendasar, direkonstruksi dari penjumlahan harmonik (harmonic) Fourier. Mahasiswa menganalisis berapa banyak suku yang dibutuhkan untuk mencapai akurasi tertentu, membandingkan laju konvergensi (rate of convergence) pada dua titik evaluasi yang berbeda jaraknya dari titik ekspansi (expansion point), serta mengamati dan menjelaskan overshoot Gibbs yang tidak kunjung hilang meskipun jumlah harmonik ditambah tak terbatas.

I.5. Konsep yang Digunakan

Deret Taylor (Taylor Series): Setiap fungsi yang cukup mulus dapat diperluas menjadi deret pangkat (power series) di sekitar titik $x_{0}$ : $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k}$ . Bentuk pangkasannya $P_{n} (x)$ disebut polinom Taylor (Taylor polynomial) orde- $n$ ; sisa deret $R_{n} (x)$ adalah galat pemotongan (truncation error) yang menurun cepat ketika $| x - x_{0} |$ kecil. Ibarat menyalin jalan berkelok dengan rangkaian ruas lurus: satu ruas (orde 1) hanya sesuai di dekat titik awal, dan salinan makin bisa dipercaya sejauh kita bersedia menambah ruas dengan belokan yang makin halus, tetapi kepercayaan itu selalu berpangkal dari satu titik ekspansi.

Laju Konvergensi (Rate of Convergence): Kecepatan galat mengecil saat jumlah suku ditambah. Konvergensi deret pangkat untuk $e^{x}$ lebih cepat daripada barisan geometrik karena suku berikutnya mengandung faktorial (factorial), sehingga rasio galat (error ratio) antar iterasi terus membesar (3.29, 4.23, 5.19, ...). Ibarat melunasi utang dengan cicilan yang makin besar: bukan sekadar membayar jumlah tetap setiap bulan (konvergensi linear), melainkan makin agresif dari waktu ke waktu (konvergensi superlinear). Konsep ini menjadi kerangka membandingkan mutu metode numerik secara umum (linear, kuadratik, dst.).

Deret Fourier (Fourier Series): Fungsi periodik (periodic function) $f (t)$ berperiode $T$ dapat didekomposisi menjadi penjumlahan sinus dan kosinus: $f (t) = a_{0} + \sum_{k = 1}^{\infty} [a_{k} \cos \frac{2 π k t}{T} + b_{k} \sin \frac{2 π k t}{T}]$ , dengan koefisien diperoleh lewat integral $b_{k} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f (t) \sin \frac{2 π k t}{T} d t$ . Fourier mendekati fungsi dari "dunia frekuensi" (frequency domain), persis seperti prisma memecah cahaya putih menjadi spektrum pelangi: sinyal yang sama, tetapi kini terbaca sebagai komposisi frekuensi-frekuensi dasar.

Fenomena Gibbs (Gibbs Phenomenon): Pada rekonstruksi fungsi dengan diskontinuitas lompat (jump discontinuity), misalnya gelombang persegi, deret Fourier selalu menunjukkan overshoot (lonjakan lebih) sekitar ±8.95% dari tinggi lompatan di kedua sisi titik diskontinuitas, berapa pun jumlah harmonik. Ibarat melipat kawat yang kaku: berapa pun halusnya tangan Anda, di tepi lipatan selalu tersisa kelebihan lengkung kecil yang menolak hilang; yang bisa dipersempit hanyalah lebarnya, bukan tingginya. Konvergensi tetap terjadi di setiap titik kontinu.

BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)

II.1. Peralatan Praktikum

Kebutuhan peralatan praktikum dapat dilihat pada daftar berikut:

Perangkat Keras (Hardware):

PC/Laptop (Processor Dual-Core 2.0 GHz+, RAM minimal 4 GB, Ruang Disk minimal 2 GB).
Koneksi internet yang stabil (wajib apabila menggunakan Google Colab).

Perangkat Lunak Sistem (System Software):

Sistem Operasi Windows 10/11 64-bit, Linux, atau macOS.

Development Tools:

Akun Google (Gmail) aktif untuk mengakses Google Colab, atau instalasi Python 3.10/3.11 beserta Jupyter Notebook/JupyterLab untuk penggunaan lokal.
Library NumPy dan Matplotlib (terpasang otomatis di Colab; pip install numpy matplotlib untuk penggunaan lokal).
Peramban modern (Google Chrome / Mozilla Firefox).

II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja

Komputer merupakan perangkat teknologi komunikasi dan informasi yang sering digunakan dewasa ini. Pada saat bekerja dengan komputer ada beberapa hal yang harus diperhatikan agar tidak berdampak buruk bagi kesehatan bahkan keselamatan kita. Komputer dapat menyebabkan penggunanya menderita nyeri otot dan tulang terutama bahu, pergelangan tangan, leher, punggung, pinggang bagian bawah, mata merah berair, bahkan gangguan penglihatan.

Beberapa hal yang bisa dilakukan untuk menghindari efek negatif dari bekerja dengan komputer:

Aturlah posisi tubuh saat bekerja dengan komputer sehingga merasa nyaman.
Aturlah posisi perangkat komputer dan ruangan sehingga memberi rasa nyaman.
Makan, minum, dan istirahatlah yang cukup.
Gerakkan badan untuk mengurangi ketegangan otot dan pikiran, dan olahragalah secara teratur.
Sesekali alihkan pandangan ke luar ruangan untuk menyegarkan mata.

Mengatur posisi tubuh:

Posisi Kepala & Leher harus tegak lurus dengan wajah menghadap langsung ke komputer, jangan menengadah atau membungkuk.
Posisi Punggung yang baik adalah tegak, tidak miring ke kanan/kiri, tidak membungkuk dan tidak menyandar terlalu ke belakang.
Posisi Pundak tidak terlalu terangkat dan tidak terlalu ke bawah, pastikan otot pundak tidak tegang.
Posisi Lengan & Siku yang baik adalah apabila mengetik dan menggunakan mouse dengan nyaman.
Posisi Kaki harus bebas, diluruskan sesekali agar aliran darah lancar.

Mengatur Posisi Komputer:

Monitor harus diletakkan di tempat yang tidak memantulkan cahaya lain.
Letakkan monitor lebih rendah dari garis horizontal mata.
Aturlah cahaya monitor (kontras/kecerahan) agar tidak terlalu gelap dan terang.
Sering-seringlah mengedipkan mata (minimal 5 detik setiap 10 menit).

Istirahat Mata: Terapkan aturan 20-20-20, yaitu setiap 20 menit alihkan pandangan ke objek yang berjarak 20 kaki (±6 meter) selama 20 detik, untuk mencegah kelelahan mata akibat paparan monitor visual.

BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)

III.1. Teori Singkat: Deret Taylor, Fourier, dan Konvergensi

Deret Taylor memperluas fungsi $f (x)$ yang memiliki turunan kontinu di sekitar titik $x_{0}$ menjadi deret pangkat (power series):

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{″} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!} (x - x_{0})^{n} + R_{n} (x)

dengan $R_{n} (x)$ adalah suku sisa (remainder), yaitu galat pemotongan (truncation error) yang tersisa setelah deret dipangkas pada suku ke- $n$ . Jika $x_{0} = 0$ , deret disebut deret Maclaurin (Maclaurin series). Apa artinya bagi programmer? Rumus di atas sesungguhnya hanyalah resep merangkai empat operasi aritmetika (pangkat, bagi, tambah) menjadi tiruan fungsi yang rumit. Komputer tidak punya tombol "sin" bawaan; pustaka matematika yang Anda panggil sedang mengevaluasi polinom seperti ini (dengan berbagai penyempurnaan).

Tabel 2. Suku-suku Deret Maclaurin Fungsi Dasar

Fungsi	Deret Maclaurin	Pola suku ke- $i$
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$	$\frac{x^{i}}{i!}$
$\sin x$	$x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$	$\frac{(- 1)^{i} x^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}$
$\cos x$	$1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$	$\frac{(- 1)^{i} x^{2 i}}{(2 i)!}$

Tabel di atas layak dihafal karena polanya sangat reguler: pangkat naik dua-dua, tanda berganti-ganti (alternating), dan faktorial selalu mengikuti pangkatnya. Kegunaan deret Taylor dalam metode numerik sangat sentral: aproksimasi $\sin$ , $\cos$ , $\exp$ pada pustaka matematika diimplementasikan dengan polinom Taylor/Chebyshev; metode beda hingga (finite difference) diturunkan dari Taylor; dan seluruh keluarga metode Runge-Kutta (Modul 7) adalah manipulasi deret Taylor.

Laju konvergensi (rate of convergence) diukur dari seberapa cepat galat $E_{n}$ mengecil ketika $n$ bertambah. Untuk deret $e^{x}$ , galat setelah deret dipotong pada orde $n$ sebanding dengan suku berikutnya $\frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}$ , sehingga rasio galat antar iterasi tumbuh mengikuti $\frac{n + 1}{x}$ : makin besar $| x |$ , makin banyak suku yang dibutuhkan.

Deret Fourier (Fourier series) mendekomposisi fungsi periodik (periodic function) menjadi frekuensi-frekuensi dasar. Untuk gelombang persegi dengan nilai $+ 1$ pada setengah periode pertama dan $- 1$ pada setengah kedua, secara analitik diperoleh:

f (t) = \frac{4}{π} [\sin ω t + \frac{1}{3} \sin 3 ω t + \frac{1}{5} \sin 5 ω t + \dots], ω = \frac{2 π}{T}

Hanya harmonik ganjil (odd harmonic) yang muncul, dengan amplitudo menurun sebagai $1 / k$ : harmonik rendah "membawa" bentuk umum sinyal, sedangkan harmonik tinggi "mengasah" tepinya. Koefisien ini juga dapat dihitung secara numerik dari definisi integralnya menggunakan aturan jumlah Riemann (Riemann sum), sekaligus memperlihatkan bagaimana dua topik numerik saling menyambung.

III.2. Environment & Setup Praktikum

Praktikum menggunakan Google Colab (direkomendasikan) atau Jupyter Notebook lokal dengan Python 3.10/3.11. Prosedur pembuatan notebook, anatomi sel notebook, dan verifikasi environment identik dengan Modul 1 (BAGIAN III.2). Pastikan import numpy as np, import matplotlib.pyplot as plt, dan import math dapat dijalankan tanpa galat sebelum memulai task.

III.3. Task I: Implementasi Deret Taylor sin(x)

TASK I: POLINOM TAYLOR sin(x) PADA BERBAGAI ORDE

Pada task ini kita membangun fungsi aproksimasi sin(x) sendiri dari deret Taylor, lalu menguji seberapa jauh ia dapat dipercaya.

Implementasikan deret Maclaurin $\sin x = \sum_{i = 0}^{n} \frac{(- 1)^{i} x^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}$ :

python

import math

def taylor_sin(x, n):
    """Aproksimasi sin(x) dengan deret Taylor hingga suku x^(2n+1)."""
    s = 0.0
    for i in range(n + 1):
        s += (-1) ** i * x ** (2 * i + 1) / math.factorial(2 * i + 1)
    return s

Cara membaca kode (bahasa awam):

def taylor_sin(x, n): = membuat fungsi buatan sendiri bernama taylor_sin dengan dua masukan: titik x tempat sin dihitung, dan n yaitu orde (derajat) suku tertinggi yang dipakai (hingga $x^{2 n + 1}$ ) (makin besar n, makin teliti tetapi makin lama dihitung).
s = 0.0 = menyiapkan variabel penampung (akumulator) yang mula-mula berisi nol.
for i in range(n + 1): = mengulang untuk i = 0, 1, 2, ..., n. Catatan: range(n + 1) berhenti sebelum angka n + 1, makanya kita menambah satu agar suku ke-n ikut terhitung.
s += (-1) ** i * x ** (2 * i + 1) / math.factorial(2 * i + 1) = inti deretnya: tambahkan satu suku $\frac{(- 1)^{i} x^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}$ ke variabel penampung. Bagian (-1) ** i memberi tanda berganti-ganti (positif-negatif), x ** (2 * i + 1) adalah pangkat ganjil dari x, dan math.factorial(...) menghitung faktorial (1×2×...×n) sebagai penyebut.
return s = mengirim isi variabel penampung keluar dari fungsi supaya bisa dicetak atau dipakai perhitungan lain.

Uji akurasi pada tiga titik evaluasi dan empat orde:

python

for x in [0.5, 1.0, 2.0]:
    print(f"x = {x}")
    for n in [0, 1, 2, 4]:
        ap = taylor_sin(x, n)
        ex = math.sin(x)
        print(f"  n={n}  aproks={ap:.10f}  eksak={ex:.10f}  Ea={abs(ex-ap):.2e}")

Cara membaca kode (bahasa awam):

for x in [0.5, 1.0, 2.0]: = menguji tiga titik yang jaraknya makin jauh dari titik ekspansi (expansion point) $x_{0} = 0$ ; dengan begitu efek "jarak terhadap keakuratan" bisa terlihat.
for n in [0, 1, 2, 4]: = mencoba empat jumlah suku, dari satu suku saja hingga lima suku.
ap = taylor_sin(x, n) = hasil hampiran dari mesin buatan kita; ex = math.sin(x) = nilai rujukan resmi Python yang kita perlakukan sebagai nilai eksak (exact).
f"...{ap:.10f}...{abs(ex-ap):.2e}" = teknik mencetak rapi: .10f menampilkan 10 digit di belakang titik, sedangkan .2e menampilkan galat dalam notasi ilmiah (scientific notation) 2 angka penting, misalnya 2.06e-02 berarti $2.06 \times 10^{- 2}$ .

Output:

x = 0.5
  n=0  aproks=0.5000000000  eksak=0.4794255386  Ea=2.06e-02
  n=1  aproks=0.4791666667  eksak=0.4794255386  Ea=2.59e-04
  n=2  aproks=0.4794270833  eksak=0.4794255386  Ea=1.54e-06
  n=4  aproks=0.4794255386  eksak=0.4794255386  Ea=1.22e-11
x = 1.0
  n=0  aproks=1.0000000000  eksak=0.8414709848  Ea=1.59e-01
  n=1  aproks=0.8333333333  eksak=0.8414709848  Ea=8.14e-03
  n=2  aproks=0.8416666667  eksak=0.8414709848  Ea=1.96e-04
  n=4  aproks=0.8414710097  eksak=0.8414709848  Ea=2.49e-08
x = 2.0
  n=0  aproks=2.0000000000  eksak=0.9092974268  Ea=1.09e+00
  n=1  aproks=0.6666666667  eksak=0.9092974268  Ea=2.43e-01
  n=2  aproks=0.9333333333  eksak=0.9092974268  Ea=2.40e-02
  n=4  aproks=0.9093474427  eksak=0.9092974268  Ea=5.00e-05

Tabel 3. Galat Absolut Aproksimasi sin(x) untuk Beberapa Titik dan Orde

n (orde 2n+1)	x = 0.5	x = 1.0	x = 2.0
0 (orde 1)	$2.06 \times 10^{- 2}$	$1.59 \times 10^{- 1}$	$1.09 \times 10^{0}$
1 (orde 3)	$2.59 \times 10^{- 4}$	$8.14 \times 10^{- 3}$	$2.43 \times 10^{- 1}$
2 (orde 5)	$1.54 \times 10^{- 6}$	$1.96 \times 10^{- 4}$	$2.40 \times 10^{- 2}$
4 (orde 9)	$1.22 \times 10^{- 11}$	$2.49 \times 10^{- 8}$	$5.00 \times 10^{- 5}$

Visualisasikan kualitas aproksimasi pada rentang $[- π, π]$ :

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xs = np.linspace(-np.pi, np.pi, 400)
plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.plot(xs, np.sin(xs), color="k", lw=2.2, label="sin(x) eksak")
for n, warna in [(0, "tab:red"), (1, "tab:orange"), (4, "tab:blue")]:
    plt.plot(xs, [taylor_sin(x, n) for x in xs], ls="--", color=warna,
             label=f"polinom Taylor orde {2 * n + 1}")
plt.ylim(-2.6, 3.6)
plt.axhline(0, color="0.6", lw=0.8, ls=":")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Aproksimasi Deret Taylor sin(x) pada Titik Ekspansi x₀ = 0")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Cara membaca kode (bahasa awam):

xs = np.linspace(-np.pi, np.pi, 400) = membuat 400 titik rapat dari −π sampai π sebagai "kanvas" kurva; makin banyak titik, makin halus garis yang tergambar.
plt.plot(...) = menggambar satu kurva; argumen label memberi nama garis untuk kotak keterangan (legend), ls="--" membuat garis putus-putus, dan plt.show() menampilkan kanvas ke layar.

Tuliskan Lesson Learnt: polinom Taylor hanya akurat di sekitar titik ekspansi (expansion point): makin jauh dari $x_{0} = 0$ , makin banyak suku yang diperlukan (perhatikan kolom $x = 2.0$ selalu terburuk). Jelaskan kaitannya dengan suku sisa $R_{n} \propto (x - x_{0})^{n + 1}$ .

Penjelasan: Polinom orde 1 (garis $y = x$ ) hanya menyinggung kurva dekat nol; orde 9 hampir tak dapat dibedakan dari $\sin x$ pada seluruh rentang $[- π, π]$ . Inilah makna "aproksimasi lokal" (local approximation): keakuratan bergantung pada jarak ke titik ekspansi.

III.4. Task II: Analisis Laju Konvergensi

TASK II: MENGUKUR LAJU KONVERGENSI DERET e^x

Kali ini fokusnya bukan lagi "berapa akurat", melainkan "seberapa cepat menuju akurat", dan kita menagih buktinya dari data.

Gunakan deret Maclaurin $e^{x}$ dari Modul 1, lalu ukur rasio galat (error ratio) antar iterasi:

python

def taylor_exp(x, n):
    s = 0.0
    for k in range(n + 1):
        s += x ** k / math.factorial(k)
    return s

prev = None
for n in range(1, 12):
    err = abs(math.exp(1) - taylor_exp(1, n))
    ratio = prev / err if prev else float("nan")
    print(f"n={n:2d}  Ea={err:.6e}  rasio={ratio:.3f}")
    prev = err

Cara membaca kode (bahasa awam):

def taylor_exp(x, n): = deret Maclaurin $e^{x}$ yang dipinjam dari Modul 1, dipotong setelah suku ke- $n$ .
prev = None = mendeklarasikan variabel penyimpan galat iterasi sebelumnya; None berarti "belum ada".
err = abs(math.exp(1) - taylor_exp(1, n)) = galat absolut pada titik x = 1 dibandingkan nilai resmi math.exp(1).
ratio = prev / err if prev else float("nan") = membagi galat kemarin dengan galat hari ini. Pada iterasi pertama prev masih None, sehingga rasio diisi NaN (not a number) karena memang belum ada pembanding. Angka rasio inilah indikator laju konvergensi: makin cepat membesar, makin cepat galat menyusut.
prev = err = galat hari ini dicatat menjadi "galat kemarin" untuk dipakai iterasi berikutnya.

Output:

n= 1  Ea=7.182818e-01  rasio=nan
n= 2  Ea=2.182818e-01  rasio=3.291
n= 3  Ea=5.161516e-02  rasio=4.229
n= 4  Ea=9.948495e-03  rasio=5.188
n= 5  Ea=1.615162e-03  rasio=6.159
n= 6  Ea=2.262729e-04  rasio=7.138
n= 7  Ea=2.786021e-05  rasio=8.122
n= 8  Ea=3.058618e-06  rasio=9.109
n= 9  Ea=3.028859e-07  rasio=10.098
n=10  Ea=2.731266e-08  rasio=11.090
n=11  Ea=2.260552e-09  rasio=12.082

Tabel 4. Rasio Galat Antar Iterasi Deret e^x di x = 1

n	Galat $E_{n}$	Rasio $E_{n - 1} / E_{n}$	Prediksi teori $(n + 1) / x$
2	$2.18 \times 10^{- 1}$	3.291	3
4	$9.95 \times 10^{- 3}$	5.188	5
8	$3.06 \times 10^{- 6}$	9.109	9
11	$2.26 \times 10^{- 9}$	12.082	12

Bandingkan konvergensi pada dua titik evaluasi:

python

ns = np.arange(1, 16)
g1 = [abs(math.exp(1.0) - taylor_exp(1.0, n)) for n in ns]
g2 = [abs(math.exp(2.0) - taylor_exp(2.0, n)) for n in ns]

plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.semilogy(ns, g1, "o-", label="x = 1")
plt.semilogy(ns, g2, "s-", label="x = 2")
plt.xlabel("orde deret (n)")
plt.ylabel("galat absolut $E_n$")
plt.title("Laju Konvergensi Deret Taylor $e^x$")
plt.xticks(ns)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Plot memakai skala logaritmik pada sumbu tegak (plt.semilogy) agar penurunan galat yang berlipat sepuluh setiap beberapa suku tetap tampak sebagai kurva yang rapi dan dapat dibandingkan.

Tuliskan Lesson Learnt: rasio galat yang terus membesar menandakan konvergensi lebih cepat daripada geometrik; kurva $x = 2$ selalu "di belakang" kurva $x = 1$ ; butuh ±2–3 suku ekstra untuk galat yang sama.

Penjelasan: Karena galat setelah deret dipotong pada orde $n$ $\approx$ suku berorde $n + 1$ , yaitu $E_{n} \approx \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}$ , maka rasio $E_{n - 1} / E_{n} \approx \frac{n + 1}{x}$ tumbuh linear terhadap $n$ , persis yang tampak pada kolom rasio (nilai ukur mendekati nilai prediksi teori dari atas). Konvergensi semacam ini disebut superlinear (lebih cepat dari rasio tetap).

III.5. Task III: Deret Fourier Gelombang Persegi & Fenomena Gibbs

TASK III: REKONSTRUKSI GELOMBANG PERSEGI

Task ini memindahkan panggung dari dunia pangkat ke dunia frekuensi: kita merakit gelombang persegi dari harmonik sinus, lalu mengamati lonjakan (overshoot) yang persisten di dekat lompatannya.

Implementasikan deret Fourier gelombang persegi (periode 1 detik, $+ 1$ pada $t < 0.5$ dan $- 1$ pada $t \geq 0.5$ ):

python

import numpy as np
import math

def fourier_square(t, N):
    """Rekonstruksi gelombang persegi hingga harmonik ke-N (k <= N)."""
    t = np.asarray(t, dtype=float)
    s = np.zeros_like(t)
    for k in range(1, N + 1, 2):          # hanya harmonik ganjil
        s += (4 / math.pi) * np.sin(2 * math.pi * k * t) / k
    return s

Cara membaca kode (bahasa awam):

t = np.asarray(t, dtype=float) = mengubah masukan menjadi larik (array) NumPy agar seluruh titik waktu bisa dihitung sekaligus.
s = np.zeros_like(t) = menyiapkan larik nol yang sama panjang dengan t sebagai penampung rekonstruksi.
for k in range(1, N + 1, 2): = melompat dua-dua (1, 3, 5, 7, ...) karena hanya harmonik ganjil (odd harmonic) yang menyusun gelombang persegi; harmonik genap amplitudonya nol. Perhatikan bahwa $N$ adalah batas atas nomor harmonik, bukan banyaknya suku: untuk $N = 5$ rekonstruksi tersusun dari $k = 1, 3, 5$ (tiga suku).
s += (4 / math.pi) * np.sin(2 * math.pi * k * t) / k = menambahkan satu harmonik sinus beramplitudo $\frac{4}{π k}$ ke penampung. Berbeda dengan Task I yang menghitung titik demi titik, di sini np.sin(...) sekaligus menghitung semua titik t; inilah yang disebut vektorisasi operasi (vectorized operation).
return s = rekonstruksi hasil penjumlahan seluruh harmonik.

Ukur nilai puncak rekonstruksi untuk harmonik maksimum $N$ yang meningkat:

python

t = np.linspace(0, 1, 200001)
for N in [1, 5, 21, 101, 1001]:
    print(f"N={N:4d}  max|f|={np.max(fourier_square(t, N)):.6f}")

Cara membaca kode (bahasa awam):

t = np.linspace(0, 1, 200001) = kisi waktu yang sangat rapat (200.001 titik dalam satu periode) supaya puncak sempit overshoot tidak lolos dari pengukuran, ibarat memotret kilat dengan mode burst agar momen puncaknya tidak terlewat.
np.max(...) = nilai puncak rekonstruksi, dibandingkan dengan batas atas gelombang persegi sejati yaitu 1.0; selisihnya itulah overshoot.

Output:

N=   1  max|f|=1.273240
N=   5  max|f|=1.188357
N=   21  max|f|=1.179669
N=   101  max|f|=1.179012
N=1001  max|f|=1.178976

Tabel 5. Nilai Maksimum Rekonstruksi Fourier (Overshoot Gibbs)

Harmonik maksimum (N)	max\|f\|	Overshoot di atas 1.0
1	1.2732	27.32%
5	1.1884	18.84%
21	1.1797	17.97%
101	1.1790	17.90%
1001	1.1790	17.90%
$\infty$ (teori)	1.17898...	17.90% (= 8.95% × tinggi lompatan 2)

Plot rekonstruksi:

python

t = np.linspace(0, 2, 4000)
eksak = np.where((t % 1) < 0.5, 1.0, -1.0)

fig, axes = plt.subplots(3, 1, figsize=(8, 7), sharex=True)
for ax, N in zip(axes, [1, 7, 35]):
    ax.plot(t, eksak, color="0.4", ls="--", lw=1.2, label="eksak")
    ax.plot(t, fourier_square(t, N), color="tab:blue", lw=1.4,
            label=f"N = {N}")
    ax.set_ylim(-1.7, 1.7)
    ax.set_ylabel("f(t)")
    ax.legend(loc="upper right", fontsize=9)
axes[-1].set_xlabel("t (detik)")
plt.tight_layout()
plt.show()

Perbesar area di sekitar diskontinuitas (discontinuity) $t = 0.5$ :

python

t = np.linspace(0.35, 0.65, 6000)
plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.plot(t, np.where((t % 1) < 0.5, 1.0, -1.0), color="0.4", ls="--",
         label="eksak")
for N, warna in [(5, "tab:green"), (21, "tab:orange"), (101, "tab:blue")]:
    plt.plot(t, fourier_square(t, N), color=warna, lw=1.3, label=f"N = {N}")
plt.axhline(1.0, color="0.4", lw=0.8, ls=":")
plt.axhline(1.179, color="tab:red", lw=0.9, ls=":")
plt.axvline(0.5, color="0.6", lw=0.8, ls=":")
plt.ylim(-1.7, 1.7)
plt.xlabel("t (detik)")
plt.ylabel("f(t)")
plt.title("Fenomena Gibbs di Sekitar Diskontinuitas t = 0.5")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Garis bantu horizontal pada 1.179 menandai batas atas overshoot Gibbs; nilai puncak rekonstruksi tidak pernah turun di bawahnya hanya dengan menambah $N$ ; yang menyempit hanya lebarnya.

Tuliskan Lesson Learnt: menambah harmonik maksimum $N$ membuat rekonstruksi semakin dekat ke bentuk persegi di setiap titik kontinu, tetapi puncak overshoot di dekat lompatan tidak pernah turun di bawah ±1.179; hanya lebarnya yang menyempit. Jelaskan mengapa Gibbs bukan bug kode melainkan sifat matematis konvergensi deret trigonometri (trigonometric series).

Penjelasan: Fenomena Gibbs (Josiah Willard Gibbs, 1899) menyatakan rekonstruksi Fourier fungsi berkarakter lompat selalu overshoot $\approx 8.95 %$ dari besar lompatan di kedua sisi diskontinuitas. Dalam rekayasa (mis. filter digital, kompresi audio/gambar), ini dikenal sebagai artefak dering (ringing artifact).

III.6. Task IV: Komputasi Koefisien Fourier Secara Numerik

TASK IV: KOEFISIEN FOURIER DARI DEFINISI INTEGRALNYA

Koefisien Fourier pada Task III dipakai mentah dari rumus analitik. Sekarang kita buktikan bahwa koefisien itu dapat diekstrak langsung dari definisi integralnya: tanpa rumus analitik, cukup aturan jumlah Riemann (Riemann sum).

Alih-alih memakai rumus analitik $b_{k} = \frac{4}{π k}$ , hitung koefisien dari definisi integralnya menggunakan jumlah Riemann (modul integrasi numerik akan memperdalam ini):

python

import numpy as np
import math

def koef_bk(f, T, k, n=100000):
    """b_k = (2/T) * integral f(t) sin(2*pi*k*t/T) dt, dihitung dengan jumlah Riemann."""
    ts = np.linspace(0, T, n, endpoint=False)
    dt = T / n
    integrand = f(ts) * np.sin(2 * math.pi * k * ts / T)
    return (2 / T) * np.sum(integrand) * dt

f_persegi = lambda ts: np.where(ts < 0.5, 1.0, -1.0)   # periode T = 1 (sama dengan Task III)

print(f"{'k':>3} {'b_k numerik':>14} {'b_k analitik':>14} {'Er (%)':>10}")
for k in [1, 3, 5, 7, 9]:
    bk_num = koef_bk(f_persegi, 1.0, k)
    bk_ana = 4 / (math.pi * k)
    print(f"{k:>3} {bk_num:>14.10f} {bk_ana:>14.10f} "
          f"{abs(bk_num - bk_ana) / bk_ana * 100:>10.6f}")

Cara membaca kode (bahasa awam):

def koef_bk(f, T, k, n=100000): = fungsi penghitung koefisien: menerima sinyal f, periode T, nomor harmonik k, dan banyaknya pias (partisi) n (default 100.000 pias).
ts = np.linspace(0, T, n, endpoint=False) = titik sampel kiri tiap pias; endpoint=False memastikan pias terakhir tidak melewati batas periode (titik T milik periode berikutnya).
dt = T / n = lebar tiap persegi panjang Riemann.
integrand = f(ts) * np.sin(...) = nilai integrand, yaitu sinyal dikali sinus harmonik ke- $k$ , dihitung di semua titik sekaligus.
(2 / T) * np.sum(integrand) * dt = inti jumlah Riemann: luas semua persegi panjang (tinggi × lebar) dijumlahkan lalu dikalikan faktor 2/T sesuai definisi koefisien. Semakin banyak pias, semakin dekat hasilnya ke nilai integral sejati.
f_persegi = lambda ts: ... = fungsi anonim (anonymous function) satu baris; np.where(ts < 0.5, 1.0, -1.0) memberi nilai +1 pada paruh pertama periode dan −1 pada paruh kedua (periode T = 1, konsisten dengan Task III).

Output:

  k    b_k numerik   b_k analitik     Er (%)
  1   1.2732395443   1.2732395447   0.000000
  3   0.4244131803   0.4244131816   0.000000
  5   0.2546479069   0.2546479089   0.000001
  7   0.1818913606   0.1818913635   0.000002
  9   0.1414710568   0.1414710605   0.000003

Amati bahwa hasil numerik cocok dengan analitik hingga galat relatif lebih kecil dari $10^{- 3}$ %, dan galat membesar ringan untuk $k$ tinggi karena osilasi integrand makin rapat.
Tuliskan Lesson Learnt: koefisien Fourier dapat diekstrak langsung dari data/sinyal apa pun tanpa rumus analitik; prinsip yang sama dengan DFT/FFT (Discrete/Fast Fourier Transform) yang digunakan pada pemrosesan sinyal modern.

III.7. Kesimpulan Praktikum

Tabel 6. Ringkasan Perbandingan Deret Taylor dan Deret Fourier

Aspek	Deret Taylor	Deret Fourier
Wilayah pendekatan	Lokal, di sekitar titik ekspansi $x_{0}$	Global, pada seluruh periode fungsi
Fungsi basis	Pangkat $(x - x_{0})^{k}$	Sinus dan kosinus (harmonik)
Cocok untuk	Fungsi mulus (smooth) non-periodik	Fungsi periodik / sinyal
Perilaku galat	Menurun cepat dekat $x_{0}$ (superlinear)	Menurun di titik kontinu; tetap ±8.95% dari tinggi lompatan (Gibbs)
Kegunaan khas	Turunan numerik, Runge-Kutta, pustaka matematika	Pemrosesan sinyal, analisis frekuensi, kompresi

Dari seluruh task dapat disimpulkan bahwa: (1) deret Taylor adalah alat aproksimasi lokal: akurasinya tinggi dekat titik ekspansi dan menurun seiring menjauh; (2) laju konvergensi dapat diukur eksperimental melalui rasio galat antar iterasi, dan deret berfaktorial (seperti $e^{x}$ , $\sin x$ ) konvergen superlinear; (3) deret Fourier mengaproksimasi fungsi periodik dari sisi frekuensi dengan akurasi yang membaik di titik-titik kontinu; dan (4) pada diskontinuitas, overshoot Gibbs bersifat permanen; pengguna numerik harus mengenal keterbatasan metode, bukan hanya kekuatannya. Keduanya menegaskan tema mata kuliah: memilih representasi berhingga yang tepat untuk proses kontinu, disertai kesadaran galat.

III.8. Tugas Praktikum

Kerjakan soal berikut pada notebook yang sama, kemudian kumpulkan sesuai mekanisme pada BAGIAN IV. Kunci jawaban tersedia pada dosen/tim praktikum dan dibahas pada pertemuan berikutnya.

Deret Taylor cos(x). Implementasikan taylor_cos(x, n) menggunakan pola $\cos x = \sum_{i = 0}^{n} \frac{(- 1)^{i} x^{2 i}}{(2 i)!}$ . Hitung aproksimasi $\cos (0.3)$ untuk $n = 1, 2, 3, 4$ dan bandingkan dengan math.cos(0.3). Berapa digit benar yang diperoleh pada $n = 4$ ?
Jumlah suku minimum. Dengan taylor_sin(x, n) dari Task I, carilah $n$ minimum agar aproksimasi $\sin (1)$ memiliki galat relatif (relative error) lebih kecil dari $10^{- 8}$ . Tuliskan program pencariannya.
Gelombang segitiga (triangle wave). Deret Fourier gelombang segitiga (amplitudo 1, periode 2) memuat hanya harmonik ganjil dengan koefisien $b_{k} = \frac{8}{π^{2} k^{2}} (- 1)^{(k - 1) / 2}$ . Implementasikan fourier_triang(t, N), plot hasilnya untuk $N = 1, 3, 7$ , dan ukur amplitudo maksimum rekonstruksi $N = 21$ , apakah terdapat overshoot serupa Gibbs?
Kualitas rekonstruksi persegi. Menggunakan fourier_square(t, N) dari Task III dan sinyal eksak np.where((t % 1) < 0.5, 1.0, -1.0) pada t = np.linspace(0, 3, 9000), hitung akar galat kuadrat rata-rata (root mean square error, RMSE) untuk $N = 1, 3, 7, 15, 31, 63$ , lalu tentukan $N$ minimum agar RMSE < 10%. (Catatan: pada $N = 63$ nilai RMSE masih sekitar 8%; target yang lebih ketat seperti RMSE < 5% baru tercapai pada $N = 169$ ; buatlah program pencarian tambahan bila ingin membuktikannya.)

III.9. Soal Latihan HOTS (Pengayaan)

Soal-soal berikut melatih kemampuan berpikir tingkat tinggi (Higher Order Thinking Skills, HOTS): menganalisis (C4), mengevaluasi (C5), dan mencipta (C6). Kerjakan mandiri atau berkelompok kecil. Soal ini tidak wajib dikumpulkan, tetapi akan dibahas bersama pada pertemuan berikutnya. Petunjuk: mulailah dari percobaan kecil di notebook, catat hasilnya, lalu tarik kesimpulan.

[C4 Analisis] Polinom Taylor jauh dari titik ekspansi. Dengan taylor_sin(x, n) dari Task I, hitung galat aproksimasi $\sin (10)$ untuk $n = 0, 2, 4, \dots, 20$ . Amati bahwa galat mula-mula justru membesar sebelum akhirnya mengecil. Analisislah penyebabnya dengan mengaitkan magnitudo suku individual $\frac{10^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}$ dan suku sisa $R_{n} \propto (x - x_{0})^{n + 1}$ , lalu jelaskan mengapa pustaka matematika tidak pernah memakai Taylor "polos" jauh dari titik ekspansi.
[C4 Analisis] Ringing pada JPEG. Gambar hasil kompresi JPEG yang dikompresi kuat sering menampakkan bayangan bergelombang di sekitar tepi kontras tinggi, yang dikenal sebagai artefak dering (ringing artifact). Pelajari fenomena tersebut dari sumber tepercaya, kemudian jelaskan kaitannya dengan fenomena Gibbs pada Task III: mengapa membuang koefisien frekuensi tinggi (aksi kompresi) sejajar dengan memotong deret Fourier, dan mengapa artefak muncul di tepi tajam, bukan di area halus. Tuliskan kesimpulan satu paragraf.
[C5 Evaluasi] Menilai saran teman. Seorang teman berpendapat: "Supaya rekonstruksi gelombang persegi sempurna, tambahkan saja $N$ hingga ribuan; overshoot pasti lama-lama hilang." Evaluasilah klaim itu: ukur tinggi dan lebar overshoot untuk $N = 21, 101, 1001$ (petunjuk: lebar dapat diukur sebagai jarak dari titik lompatan tempat rekonstruksi pertama kali turun di bawah 1.0). Tentukan bagian klaim yang benar dan yang keliru, lalu rekomendasikan apa yang seharusnya dilakukan bila overshoot benar-benar harus ditekan (petunjuk: perataan/smoothing pada koefisien).
[C5 Evaluasi] Taylor atau Fourier? Empat masalah berikut akan ditangani salah satu dari kedua representasi: (a) menghitung $\sin (x)$ di dalam pustaka matematika untuk $| x |$ kecil; (b) mengompresi lagu menjadi MP3; (c) menganalisis harmonik gelombang listrik PLN 50 Hz; (d) menurunkan metode Runge-Kutta orde 4. Evaluasilah representasi mana yang tepat untuk masing-masing beserta alasannya, lalu rumuskan kriteria umum kapan pendekatan lokal (Taylor) mengalahkan pendekatan frekuensi (Fourier), dan sebaliknya.
[C5 Evaluasi] Batas akurasi deret berganti tanda. Untuk $x$ besar (misalnya $x = 25$ ), suku-suku deret $\sin (x)$ tumbuh sangat besar sebelum saling menggugurkan (deret berganti tanda / alternating series). Lakukan eksperimen: cari suku terbesar $max_{i} \frac{25^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}$ , prediksi galat terbaik yang mungkin dicapai komputer (petunjuk: kaitkan dengan epsilon mesin × suku terbesar, ingat Modul 1), lalu bandingkan dengan galat eksperimental taylor_sin(25, n) yang optimal. Evaluasilah mengapa menambah suku justru memperburuk hasil setelah titik tertentu, dan usulkan solusi praktisnya (petunjuk: reduksi argumen / argument reduction, $\sin (x) = \sin (x mod 2 π)$ ).
[C6 Mencipta] Deret tanpa faktorial berulang. Buatlah fungsi taylor_exp_cepat(x, n) yang menghitung suku berikutnya dari suku sebelumnya lewat relasi suku = suku * x / k, alih-alih memanggil math.factorial dan x ** k di setiap iterasi. Bandingkan waktu eksekusi kedua versi untuk $n = 200$ , $x = 5$ (gunakan time.perf_counter), pastikan hasilnya identik, dan jelaskan dengan bahasa awam mengapa matematika yang sama bisa dieksekusi dengan kecepatan yang berbeda.
[C6 Mencipta] Ekstraksi spektrum frekuensi dari data. Bangkitkan sinyal campuran $f (t) = \sin (2 π t) + 0.5 \sin (6 π t) + 0.25 \sin (20 π t)$ pada $t \in [0, 1]$ , tambahkan derau (noise) kecil dengan np.random, lalu ekstrak koefisien $b_{k}$ untuk $k = 1. .30$ memakai koef_bk dari Task IV. Sajikan grafik batang amplitudo $| b_{k} |$ terhadap $k$ (spektrum frekuensi / frequency spectrum), tandai frekuensi dominan, dan jelaskan prinsip kerja yang sama pada DFT/FFT pemrosesan sinyal modern.

BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN

IV.1. Media Pengumpulan

Media pengumpulan menggunakan Microsoft Teams (MS Teams) yang dapat diakses pada link berikut:

https://teams.microsoft.com

Kemudian masuk ke dalam Tim (Team) khusus untuk mata kuliah Komputasi Numerik.

IV.2. Mekanisme Pengumpulan

Mekanisme proses pengumpulan untuk modul praktikum ini mengikuti tahapan berikut:

Format penamaan notebook/berkas: gunakan format standar berikut.
Tabel 7. Standar Penamaan Proyek dan Berkas Pengumpulan Praktikum Komputasi Numerik
Kode Penjelasan
KN2026 Komputasi Numerik tahun 2026
5A/5B Kelas
D4 Prodi D-4 Sarjana Terapan
2024 Angkatan
Modul2 Nomor Modul
001 3 Digit NIM Terakhir
Format berkas: [KN2026_5A_D4_2024]_Modul2_001.ipynb
Ekspor notebook Google Colab/Jupyter menjadi berkas .ipynb (File → Download → Download .ipynb). Apabila diperlukan, lampirkan juga hasil output dalam format .pdf atau .html.
Susun Laporan Praktikum (.pdf) yang mencakup:
- Tangkapan layar (screenshot) notebook dan output yang dihasilkan.
- Potongan kode (code snippet) Python (Task I, II, III, IV) beserta penjelasan fungsinya.
- Analisis hasil eksekusi (Lesson Learnt) untuk tiap task.
- Jawaban Tugas Praktikum (III.8).
Kompresi seluruh berkas menjadi satu arsip .zip dengan nama [KN2026_5A_D4_2024]_Modul2_001.zip.
Unggah arsip tersebut pada slot Tugas (Assignment) "Pengumpulan Praktikum Modul 2" di Microsoft Teams sebelum batas waktu berakhir.

Kode	Penjelasan
`KN2026`	Komputasi Numerik tahun 2026
`5A/5B`	Kelas
`D4`	Prodi D-4 Sarjana Terapan
`2024`	Angkatan
`Modul2`	Nomor Modul
`001`	3 Digit NIM Terakhir

BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM

Penilaian pada praktikum berdasarkan kriteria berikut:

Tabel 8. Rubrik dan Matriks Kriteria Penilaian Evaluasi Praktikum

Kriteria Penilaian	Skor ≥ 80 (A)	Skor 70–79.99 (AB/B)	Skor 60–69.99 (BC/C)	Skor < 60 (D/E)
Deret Taylor (25%)	Fungsi `taylor_sin` benar, tabel galat lengkap, interpretasi lokalitas aproksimasi tajam.	Implementasi benar namun interpretasi kurang lengkap.	Implementasi berjalan tetapi ada suku deret yang keliru.	Gagal mengimplementasikan deret.
Analisis Konvergensi (25%)	Rasio galat dihitung benar, kaitannya dengan pola faktorial dijelaskan.	Rasio dihitung benar tanpa penjelasan teoretis.	Rasio keliru pada sebagian iterasi.	Tidak menganalisis konvergensi.
Deret Fourier & Gibbs (30%)	Rekonstruksi benar, overshoot 17.9% ditemukan, penjelasan Gibbs tepat.	Rekonstruksi benar, penjelasan Gibbs permukaan.	Rekonstruksi sebagian benar / tanpa pengukuran overshoot.	Gagal merekonstruksi gelombang.
Pelaporan & Lesson Learnt (20%)	Laporan sangat lengkap: screenshot, analisis kode, lesson learnt mendalam, jawaban tugas benar semua.	Laporan lengkap dengan screenshot dan penjelasan kode standar.	Laporan kurang detail, sebagian lesson learnt tidak dicantumkan.	Tidak mengumpulkan laporan / tidak sesuai format.

DAFTAR PUSTAKA

Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.). McGraw-Hill.

Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis (9th ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning.

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers (7th ed.). McGraw-Hill Education.

Gerald, C. F., & Wheatley, P. O. (2004). Applied Numerical Analysis (7th ed.). Pearson.

Munir, R. (2021). Metode Numerik (Edisi Revisi). Informatika, Bandung.

LAMPIRAN

Jika Ada

MODUL PRAKTIKUM MATA KULIAH ​

KOMPUTASI NUMERIK ​

MODUL 2: EKSPANSI DERET TAYLOR, FOURIER, DAN KONVERGENSI ​

LEMBAR PERSETUJUAN ​

KATA PENGANTAR ​

DAFTAR ISI ​

DAFTAR GAMBAR ​

DAFTAR TABEL ​

IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM ​

CAPAIAN PEMBELAJARAN ​

BAGIAN I. BAHAN KAJIAN ​

I.1. Penggunaan Pedoman ​

I.2. Ruang Lingkup ​

I.3. Teknologi ​

I.4. Studi Kasus ​

I.5. Konsep yang Digunakan ​

BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION) ​

II.1. Peralatan Praktikum ​

II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja ​

BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP) ​

III.1. Teori Singkat: Deret Taylor, Fourier, dan Konvergensi ​

III.2. Environment & Setup Praktikum ​

III.3. Task I: Implementasi Deret Taylor sin(x) ​

III.4. Task II: Analisis Laju Konvergensi ​

III.5. Task III: Deret Fourier Gelombang Persegi & Fenomena Gibbs ​

III.6. Task IV: Komputasi Koefisien Fourier Secara Numerik ​

III.7. Kesimpulan Praktikum ​

III.8. Tugas Praktikum ​

III.9. Soal Latihan HOTS (Pengayaan) ​

BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN ​

IV.1. Media Pengumpulan ​

IV.2. Mekanisme Pengumpulan ​

BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM ​

DAFTAR PUSTAKA ​

LAMPIRAN ​

MODUL PRAKTIKUM MATA KULIAH

KOMPUTASI NUMERIK

MODUL 2: EKSPANSI DERET TAYLOR, FOURIER, DAN KONVERGENSI

LEMBAR PERSETUJUAN

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR TABEL

IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM

CAPAIAN PEMBELAJARAN

BAGIAN I. BAHAN KAJIAN

I.1. Penggunaan Pedoman

I.2. Ruang Lingkup

I.3. Teknologi

I.4. Studi Kasus

I.5. Konsep yang Digunakan

BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)

II.1. Peralatan Praktikum

II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja

BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)

III.1. Teori Singkat: Deret Taylor, Fourier, dan Konvergensi

III.2. Environment & Setup Praktikum

III.3. Task I: Implementasi Deret Taylor sin(x)

III.4. Task II: Analisis Laju Konvergensi

III.5. Task III: Deret Fourier Gelombang Persegi & Fenomena Gibbs

III.6. Task IV: Komputasi Koefisien Fourier Secara Numerik

III.7. Kesimpulan Praktikum

III.8. Tugas Praktikum

III.9. Soal Latihan HOTS (Pengayaan)

BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN

IV.1. Media Pengumpulan

IV.2. Mekanisme Pengumpulan

BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN