MODUL PRAKTIKUM MATA KULIAH

KOMPUTASI NUMERIK

MODUL 5: INTERPOLASI POLINOM (LAGRANGE, NEWTON, DAN GALAT INTERPOLASI)

JURUSAN TEKNIK KOMPUTER DAN INFORMATIKA

POLITEKNIK NEGERI BANDUNG

2026

---

LEMBAR PERSETUJUAN

INTERPOLASI POLINOM (LAGRANGE, NEWTON, DAN GALAT INTERPOLASI)

Proses	Jabatan	Nama	Tanda Tangan
Disusun oleh	Pengampu Praktikum Mata Kuliah Komputasi Numerik
Diperiksa oleh	Ketua Kelompok Bidang Keahlian (KBK) Multimedia
Disahkan oleh	Ketua Program Sarjana Terapan Teknik Informatika

PUBLISHED BY

Jurusan Teknik Komputer & Informatika Politeknik Negeri Bandung

Jl. Gegerkalong Hilir, Desa Ciwaruga, Kecamatan Parongpong, Kabupaten Bandung Barat, Jawa Barat 40559

Copyright © 2026 by JTK POLBAN

All rights reserved. No part of the contents of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of the publisher.

Penanggung jawab	: Iwan Awaludin
Penanggung jawab	: Muhammad Rizqi Sholahuddin
Tim Penulis	: Tim Praktikum Komputasi Numerik

---

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat karunia dan rida-Nya "INTERPOLASI POLINOM (LAGRANGE, NEWTON, DAN GALAT INTERPOLASI)" telah selesai disusun.

Penyusunan "INTERPOLASI POLINOM (LAGRANGE, NEWTON, DAN GALAT INTERPOLASI)" ini bertujuan untuk memberikan petunjuk dan prosedur operasional baku (POB) mengenai proses kegiatan praktikum, mulai dari tahap persiapan, pelaksanaan, pelaporan, dan evaluasi untuk penilaian. Melalui modul ini diharapkan proses praktikum dapat mudah dipahami, baik oleh mahasiswa dan dosen di lingkungan Jurusan Teknik Komputer dan Informatika Politeknik Negeri Bandung.

Banyak persoalan rekayasa bermuara pada data tabel: hasil pengukuran laboratorium, tabel kalibrasi sensor, tabel fungsi matematika, hingga data sensor per detik. Pertanyaan yang hampir selalu muncul adalah: berapa nilai besaran di antara dua entri tabel, tanpa melakukan pengukuran atau perhitungan ulang dari awal? Interpolasi polinom (polynomial interpolation) menjawabnya dengan memasang satu polinom yang melewati seluruh titik data, lalu membaca nilai polinom itu di titik yang diinginkan. Modul 5 melatih dua keluarga metode klasik: polinom Lagrange (Lagrange polynomial) yang simetris dan langsung dari definisi, serta polinom Newton dengan selisih terbagi (divided difference) yang dapat menampung titik baru tanpa menghitung ulang dari nol. Mahasiswa juga mempelajari rumus galat interpolasi (interpolation error) lalu mengujinya secara eksperimental, hingga bertemu fenomena Runge (Runge phenomenon): bukti terkenal bahwa menaikkan derajat polinom pada titik berjarak sama justru dapat merusak hampiran. Materi modul ini menyambung modul-modul sebelumnya: pembentukan polinom secara naif melalui sistem persamaan lanjar (Modul 4), koefisien deret Taylor sebagai pembanding perilaku (Modul 2), dan interpolasi terbalik yang berujung pada pencarian akar (Modul 3).

Semoga modul ini bermanfaat untuk memperkuat pelaksanaan pengajaran di Jurusan Teknik Komputer & Informatika Politeknik Negeri Bandung, sehingga transparansi dan akuntabilitas kinerja bidang akademik dapat tercapai.

Bandung, 2026

---

DAFTAR ISI

Judul	Halaman
LEMBAR PERSETUJUAN	i
KATA PENGANTAR	iii
DAFTAR ISI	iv
DAFTAR GAMBAR	v
DAFTAR TABEL	vi
IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM	vii
CAPAIAN PEMBELAJARAN	viii
BAGIAN I. BAHAN KAJIAN	1
I.1. Penggunaan Pedoman	1
I.2. Ruang Lingkup	1
I.3. Teknologi	2
I.4. Studi Kasus	2
I.5. Konsep yang Digunakan	3
BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)	3
II.1. Peralatan Praktikum	3
II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja	4
BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)	6
III.1. Teori Singkat: Interpolasi Polinom	6
III.2. Environment & Setup Praktikum	9
III.3. Task I: Interpolasi Linier dan Kuadratik	10
III.4. Task II: Polinom Lagrange	12
III.5. Task III: Polinom Newton dan Selisih Terbagi	14
III.6. Task IV: Galat Interpolasi dan Fenomena Runge	16
III.7. Kesimpulan Praktikum	18
III.8. Tugas Praktikum	19
III.9. Soal Latihan HOTS: Pemrograman ala Kompetisi (Kumulatif Modul 1 sampai 5)	20
BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN	23
BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM	24
DAFTAR PUSTAKA	25
LAMPIRAN	26

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Interpolasi Linier dan Kuadratik pada Tabel ln x

Gambar 2. Polinom Lagrange Orde-3 pada Tabel ln x

Gambar 3. Fenomena Runge: Polinom Derajat Tinggi dengan Titik Berjarak Sama

Gambar 4. Fungsi Runge dengan Titik Chebyshev

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Pemetaan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Terhadap Modul Praktikum Komputasi Numerik

Tabel 2. Perbandingan Tiga Pendekatan Pembentukan Polinom Interpolasi

Tabel 3. Data Uji Interpolasi: Tabel ln x (Empat Angka Bena)

Tabel 4. Perbandingan Hasil Interpolasi Linier dan Kuadratik pada x = 2.5

Tabel 5. Tabel Selisih Terbagi untuk Data Tabel 3

Tabel 6. Galat Maksimum Interpolasi Runge: Titik Berjarak Sama vs Titik Chebyshev

Tabel 7. Panduan Memilih Metode Interpolasi Polinom

Tabel 8. Standar Penamaan Proyek dan Berkas Pengumpulan Praktikum Komputasi Numerik

Tabel 9. Rubrik dan Matriks Kriteria Penilaian Evaluasi Praktikum

---

IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM

Atribut	Keterangan
Mata Kuliah	: Komputasi Numerik (Praktikum)
Mata Kuliah (Inggris)	: Numerical Computing (Practicum)
Kode Mata Kuliah	: 25TI3101
SKS	: 3 (2 Teori, 1 Praktikum)
Sifat Pengambilan	: Wajib
Bentuk Pembelajaran	: Tutorial, Praktik
Metode Pembelajaran	: Problem Based Learning, Project Based Learning
Media	: Offline / Daring (Google Colab)
Semester	: V
Kelompok Mata Kuliah	: Mata Kuliah KBK Multimedia
Program Pendidikan	: Sarjana Terapan (D-4) Prodi Teknik Informatika
Jurusan	: Teknik Komputer & Informatika
Penyusun	: Iwan Awaludin

---

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Tabel 1. Pemetaan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Terhadap Modul Praktikum Komputasi Numerik

CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH	INTEGRASI DENGAN MODUL PRAKTIKUM
CPMK 1 Mahasiswa mampu menjelaskan konsep galat numerik, galat pemotongan, dan galat pembulatan dalam komputasi.	MODUL 1
CPMK 2 Mahasiswa mampu menerapkan algoritma numerik untuk menyelesaikan masalah matematika yang kompleks.	MODUL 3, 4, 5, 6
CPMK 3 Mahasiswa mampu menganalisis kestabilan, akurasi, dan konvergensi suatu metode numerik.	MODUL 2, 3, 5, 6
CPMK 4 Mahasiswa mampu mengimplementasikan metode numerik menggunakan bahasa pemrograman.	MODUL 2, 4, 5, 8
CPMK 5 Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan rekayasa dan sains secara numerik dengan pendekatan yang sistematis dan kritis.	MODUL 7, 9, 10, 11

---

BAGIAN I. BAHAN KAJIAN

I.1. Penggunaan Pedoman

Pedoman ini memberikan instruksi sistematis mengenai tata cara persiapan, pengoperasian, penyelesaian tugas praktikum interpolasi polinom untuk mata kuliah Komputasi Numerik, hingga mekanisme evaluasi. Baca BAGIAN II sebelum praktikum dimulai, kerjakan BAGIAN III secara berurutan dari Task I, lalu kumpulkan hasil pekerjaan sesuai BAGIAN IV.

I.2. Ruang Lingkup

Kegiatan mencakup interpolasi linier (linear interpolation) dan kuadratik (quadratic interpolation) pada data tabel beserta pengaruh pemilihan titik, polinom Lagrange (Lagrange polynomial) untuk $n+1$ titik sebarang, polinom Newton (Newton polynomial) dengan tabel selisih terbagi (divided difference) termasuk sifat menambah titik secara bertahap, rumus galat interpolasi (interpolation error) $E(x)=f^{(n+1)}(c)Q_{n+1}(x)/(n+1)!$ beserta verifikasi eksperimentalnya, interpolasi terbalik (inverse interpolation), serta fenomena Runge (Runge phenomenon) pada titik berjarak sama (equispaced points) dan perbaikannya dengan titik Chebyshev.

I.3. Teknologi

Berikut adalah teknologi yang digunakan pada modul praktikum ini:

• Bahasa Pemrograman Python (versi 3.10 atau 3.11).
• Google Colaboratory (Google Colab), yaitu lingkungan komputasi berbasis cloud yang tampilannya seperti Jupyter Notebook, atau Jupyter Notebook / JupyterLab yang terinstal lokal.
• Library NumPy, terpasang otomatis pada Google Colab atau via pip install numpy.
• Library Matplotlib untuk visualisasi hasil (pip install matplotlib).
• Peramban modern (Google Chrome / Mozilla Firefox) untuk mengakses Google Colab.

I.4. Studi Kasus

Studi kasus utama adalah pembangunan mesin penaksir tabel (table interpolator): dari tabel empat titik $\ln x$, mahasiswa menaksir $\ln 2.5$ dengan interpolasi linier, kuadratik, polinom Lagrange orde-3, dan polinom Newton orde-3, lalu membandingkan galat semua cara terhadap nilai eksak. Selanjutnya ketahanan derajat tinggi diuji pada fungsi Runge $f(x)=1/(1+25x^2)$: polinom orde tinggi dengan titik berjarak sama terbukti berosilasi liar di ujung selang, sementara penataan titik ala Chebyshev memperbaikinya secara dramatis. Sebagai kasus terapan, interpolasi terbalik mempertemukan interpolasi dengan pencarian akar Modul 3.

I.5. Konsep yang Digunakan

Interpolasi, Ekstrapolasi, dan Regresi: Interpolasi memasang fungsi yang nilainya persis sama dengan data pada setiap titik data (curve fitting yang melewati semua titik); ekstrapolasi adalah membaca nilai di luar rentang titik data; regresi (regression) sebaliknya membiarkan kurva tidak melewati titik demi menolak derau (noise) pengukuran. Ibarat menghubungkan dua kota yang jaraknya diketahui: interpolasi menaksir jarak kota di antara keduanya, ekstrapolasi menerka jarak kota ketiga di luar rute (makin jauh di luar peta, makin spekulatif), sedangkan regresi menarik garis tren dari banyak titik pengukuran yang bercampur derau.

Polinom Lagrange: Bentuk langsung polinom interpolasi sebagai kombinasi basis kardinal $L_i(x)$, yaitu polinom yang bernilai tepat 1 di titik ke-$i$ dan 0 di semua titik data lain, sehingga $p_n(x)=\sum y_i{L}_i(x)$ otomatis melewati semua titik; berlaku untuk titik berjarak sama maupun tidak. Ibarat pembagian saham pengaruh: setiap titik data "berbicara" hanya lewat basisnya sendiri, dan bobot pembicaraannya lenyap di titik-titik lain.

Selisih Terbagi dan Polinom Newton: Selisih terbagi $f[x_0,\dots ,x_k]$ adalah koefisien polinom Newton yang dihitung bertingkat dari tabel, dengan polinom disusun suku demi suku $p_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+\dots$. Ibarat membangun gedung lantai demi lantai: menambah satu titik data hanya menambah satu lantai (satu koefisien baru), tanpa membongkar lantai-lantai yang sudah berdiri, berbeda dengan Lagrange yang harus menghitung ulang seluruh bobot.

Galat Interpolasi: $E(x)=f(x)-p_n(x)={\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}{Q}_{n+1}(x)$ dengan $Q_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ dan $c$ di dalam rentang titik data. Ibarat tali yang dipegang di $n+1$ titik: di setiap pegangan (titik data) tali pasti menempel (galat nol), tali paling lentur di antara pegangan, dan ujung bebasnya paling liar. Rumus ini menjelaskan dua fakta praktis: galat paling kecil di sekitar tengah rentang titik, dan membaca nilai di ujung rentang paling berisiko.

Fenomena Runge dan Titik Chebyshev: Untuk fungsi yang berubah cepat, polinom berderajat tinggi dengan titik berjarak sama berosilasi makin liar di dekat ujung selang saat derajat ditambah; Runge (1901) membuktikannya pada $f(x)=1/(1+25x^2)$. Ibarat memaksa pita pengukur yang kaku menempel kurva berlekuk-S: di tengah ia mengikuti, di ujung ia mencuat. Penawarnya sederhana namun tegas: rapatkan titik di ujung (titik Chebyshev, $x_i=\cos \frac{(2i+1)\pi }{2n+2}$) atau tinggalkan polinom tunggal derajat tinggi dan pakai potongan polinom derajat rendah (spline).

---

BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)

II.1. Peralatan Praktikum

Kebutuhan peralatan praktikum dapat dilihat pada daftar berikut:

Perangkat Keras (Hardware):

• PC/Laptop (Processor Dual-Core 2.0 GHz+, RAM minimal 4 GB, Ruang Disk minimal 2 GB).
• Koneksi internet yang stabil (wajib apabila menggunakan Google Colab).

Perangkat Lunak Sistem (System Software):

• Sistem Operasi Windows 10/11 64-bit, Linux, atau macOS.

Development Tools:

• Akun Google (Gmail) aktif untuk mengakses Google Colab, atau instalasi Python 3.10/3.11 beserta Jupyter Notebook/JupyterLab untuk penggunaan lokal.
• Library NumPy dan Matplotlib (terpasang otomatis di Colab; pip install numpy matplotlib untuk penggunaan lokal).
• Peramban modern (Google Chrome / Mozilla Firefox).

II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja

Komputer merupakan perangkat teknologi komunikasi dan informasi yang sering digunakan dewasa ini. Pada saat bekerja dengan komputer ada beberapa hal yang harus diperhatikan agar tidak berdampak buruk bagi kesehatan bahkan keselamatan kita. Komputer dapat menyebabkan penggunanya menderita nyeri otot dan tulang terutama bahu, pergelangan tangan, leher, punggung, pinggang bagian bawah, mata merah berair, bahkan gangguan penglihatan.

Beberapa hal yang bisa dilakukan untuk menghindari efek negatif dari bekerja dengan komputer:

• Aturlah posisi tubuh saat bekerja dengan komputer sehingga merasa nyaman.
• Aturlah posisi perangkat komputer dan ruangan sehingga memberi rasa nyaman.
• Makan, minum, dan istirahatlah yang cukup.
• Gerakkan badan untuk mengurangi ketegangan otot dan pikiran, dan olahragalah secara teratur.
• Sesekali alihkan pandangan ke luar ruangan untuk menyegarkan mata.

Mengatur posisi tubuh:

• Posisi Kepala & Leher harus tegak lurus dengan wajah menghadap langsung ke komputer, jangan menengadah atau membungkuk.
• Posisi Punggung yang baik adalah tegak, tidak miring ke kanan/kiri, tidak membungkuk dan tidak menyandar terlalu ke belakang.
• Posisi Pundak tidak terlalu terangkat dan tidak terlalu ke bawah, pastikan otot pundak tidak tegang.
• Posisi Lengan & Siku yang baik adalah apabila mengetik dan menggunakan mouse dengan nyaman.
• Posisi Kaki harus bebas, diluruskan sesekali agar aliran darah lancar.

Mengatur Posisi Komputer:

• Monitor harus diletakkan di tempat yang tidak memantulkan cahaya lain.
• Letakkan monitor lebih rendah dari garis horizontal mata.
• Aturlah cahaya monitor (kontras/kecerahan) agar tidak terlalu gelap dan terang.
• Sering-seringlah mengedipkan mata (minimal 5 detik setiap 10 menit).

Istirahat Mata: Terapkan aturan 20-20-20, yaitu setiap 20 menit alihkan pandangan ke objek yang berjarak 20 kaki (±6 meter) selama 20 detik, untuk mencegah kelelahan mata akibat paparan monitor visual.

---

BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)

III.1. Teori Singkat: Interpolasi Polinom

Diberikan $n+1$ titik data $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ dengan semua $x_i$ berbeda. Persoalan interpolasi polinom adalah mencari polinom $p_n(x)$ berderajat paling tinggi $n$ yang melewati semua titik: $p_n(x_i)=y_i$ untuk setiap $i$. Teorema keunikan menjamin polinom ini ada dan hanya satu, sehingga metode apa pun (Lagrange, Newton, atau naif lewat sistem persamaan lanjar) menghasilkan polinom yang sama persis; yang membedakan hanyalah bentuk penyajian dan biaya komputasinya.

Jalur naif lewat sistem persamaan lanjar (Modul 4). Sulihkan tiap titik ke $p_n(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$; diperoleh $n+1$ persamaan lanjar terhadap $a_0,\dots ,a_n$ (matriksnya dikenal sebagai matriks Vandermonde) yang dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss. Cara ini penting sebagai bukti keberadaan, tetapi mahal ($O(n^3)$, cepat menjadi sakit kondisi) dan tidak praktis untuk $n$ besar.

Interpolasi linier. Dengan dua titik $(x_0,y_0)$ dan $(x_1,y_1)$, garis lurus penghubungnya memberi

$$p_1(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$$

dan dengan tiga titik diperoleh parabola $p_2(x)$ (interpolasi kuadratik). Polinom kuadratik dapat dicari lewat sistem persamaan lanjar seperti di atas, tetapi pada modul ini koefisiennya dihitung lewat selisih terbagi agar langsung menyambung ke polinom Newton.

Polinom Lagrange. Didefinisikan lewat basis kardinal:

$$p_n(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{L}_i(x),L_i(x)=\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

Perhatikan sifat pembunuh kuncinya: $L_i(x_i)=1$ dan $L_i(x_j)=0$ untuk $j\ne i$, sehingga di titik data ke-$k$ hanya suku $y_k{L}_k$ yang selamat dan bernilai tepat $y_k$. Berlaku untuk titik berjarak sama maupun tidak.

Selisih terbagi dan polinom Newton. Didefinisikan rekursif:

$$f[x_i]=y_i,f[x_i,\dots ,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots ,x_{i+k}]-f[x_i,\dots ,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

lalu polinom Newton dibangun bertahap:

$$p_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots +f[x_0,\dots ,x_n]\prod _{k=0}^{n-1}(x-x_k)$$

Nilai-nilai selisih terbagi dihitung sekali lewat tabel segitiga; menambah satu titik data hanya menambah satu baris tabel dan satu koefisien baru (sifat menular/incremental), dan evaluasi polinom hanya membutuhkan $n$ perkalian berjalan. Untuk titik berjarak sama dikenal varian selisih maju Newton-Gregory yang tidak dibahas mendalam di modul ini.

Tabel 2. Perbandingan Tiga Pendekatan Pembentukan Polinom Interpolasi

Aspek	Naif via SPL (Vandermonde)	Lagrange	Newton (selisih terbagi)
Bentuk	koefisien $a_0,\dots ,a_n$	kombinasi basis $L_i$	suku bertingkat dengan selisih terbagi
Biaya pembentukan	$O(n^3)$ (eliminasi)	$O(n^2)$ per evaluasi	$O(n^2)$ sekali (tabel), evaluasi $O(n)$
Menambah titik baru	selesaikan ulang semua	hitung ulang semua bobot	tambah satu koefisien saja
Kondisi numerik	memburuk cepat untuk $n$ besar	baik untuk $n$ kecil-menengah	baik untuk $n$ kecil-menengah
Kegunaan khas	bukti keberadaan/keunikan	data tetap, rumus simetris	data bertambah, tabel transparan

Galat interpolasi. Untuk fungsi asal $f$ yang memiliki turunan ke-$n+1$,

$$E(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{Q}_{n+1}(x),Q_{n+1}(x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

dengan $c$ suatu titik di dalam rentang titik data (nilai pastinya tidak diketahui). Rumus ini diturunkan dengan teorema Rolle dan bentuknya sangat mirip sisa deret Taylor pada Modul 2, dan memang keduanya saudara: Taylor menginterpolasi "titik" yang semuanya berhimpit di satu titik ekspansi, sedangkan interpolasi memakai titik yang tersebar. Karena $Q_{n+1}(x_i)=0$, galat nol di semua titik data; karena $|Q_{n+1}|$ membesar di dekat ujung rentang, membaca nilai di tengah rentang paling aman dan di ujung paling rawan. Ketika $f$ diketahui, $f^{(n+1)}(c)$ dapat dihampiri dengan nilai di titik tengah rentang untuk memperkirakan galat (galat rata-rata).

Interpolasi terbalik. Untuk menjawab "pada $x$ berapa $f(x)=y_{\text{target}}$", tukar peran kolom: interpolasi data $(y_i,x_i)$ lalu evaluasi di $y_{\text{target}}$. Trik ini sah selama $f$ monoton (selalu menaik atau selalu menurun) pada rentang data agar pembalikannya tunggal; tugas praktikum membandingkannya dengan cara berpikir pencarian akar dari Modul 3.

III.2. Environment & Setup Praktikum

Praktikum menggunakan Google Colab (direkomendasikan) atau Jupyter Notebook lokal dengan Python 3.10/3.11. Prosedur pembuatan notebook, anatomi sel notebook, dan verifikasi environment identik dengan Modul 1 (BAGIAN III.2). Pastikan import numpy as np dan import matplotlib.pyplot as plt berjalan tanpa galat.

III.3. Task I: Interpolasi Linier dan Kuadratik

TASK I: MENAKSIR ln 2.5 DARI TABEL ln x

Task pembuka memakai masalah paling kuno interpolasi: menaksir nilai tabel di antara dua entri, seperti pembaca tabel logaritma era sebelum kalkulator.

1. Data uji sepanjang modul adalah tabel $\ln x$ empat angka bena:

Tabel 3. Data Uji Interpolasi: Tabel ln x (Empat Angka Bena)

$i$	0	1	2	3
$x_i$	1.0	2.0	3.0	4.0
$y_i=\ln x_i$	0.0000	0.6931	1.0986	1.3863

Nilai eksak $\ln 2.5=0.916291$ (dari math.log) menjadi pembanding galat, karena target task ini justru mengukur seberapa dekat taksiran tabel ke nilai sejati.

2. Interpolasi linier antara dua titik yang mengapit $x=2.5$, yaitu $x_1=2$ dan $x_2=3$:

import math

x_tabel = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
y_tabel = [0.0, 0.6931, 1.0986, 1.3863]     # ln x, dibulatkan 4 desimal

def interpolasi_linier(x0, y0, x1, y1, x):
    """p1(x): garis lurus melalui (x0,y0) dan (x1,y1), dievaluasi di x."""
    return y0 + (y1 - y0) / (x1 - x0) * (x - x0)

p1 = interpolasi_linier(2.0, 0.6931, 3.0, 1.0986, 2.5)
eksak = math.log(2.5)
print(f"p1(2.5) = {p1:.6f}")
print(f"eksak   = {eksak:.6f}")
print(f"Ea = {abs(eksak - p1):.4e}   Er = {abs(eksak - p1)/eksak*100:.2f}%")

Cara membaca kode (bahasa awam):

• x_tabel dan y_tabel = dua daftar sejajar: entri ke-$i$ dari keduanya membentuk satu titik data $(x_i,y_i)$; memisahkan kolom x dan y seperti ini akan memudahkan pemakaian ulang di task berikutnya.
• def interpolasi_linier(...) = rumus garis lurus dua titik: mulai dari $y_0$, berjalan sejauh kemiringan $\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ dikali jarak $(x-x_0)$. Kemiringan inilah satu-satunya informasi bentuk yang dipakai; seluruh kelengkungan fungsi asal diabaikan.
• eksak = math.log(2.5) = nilai sejati dari fungsi asal. Dalam praktik nyata fungsi asal tidak diketahui (hanya tabelnya), tetapi untuk belajar kita sengaja memakai fungsi yang diketahui agar galat bisa diukur.
• Baris print terakhir = mencetak galat absolut (selisih taksiran terhadap eksak) dan galat relatifnya dalam persen, melanjutkan definisi Modul 1.

Output:

p1(2.5) = 0.895850
eksak   = 0.916291
Ea = 2.0441e-02   Er = 2.23%

3. Interpolasi kuadratik memakai tiga titik. Ada dua pilihan titik yang memuat $x=2.5$: trio $(1,2,3)$ dan trio $(2,3,4)$. Uji keduanya:

def newton_kuadratik(xs, ys, x):
    """p2(x) untuk tiga titik (xs, ys), koefisien lewat selisih terbagi."""
    b0 = ys[0]
    b1 = (ys[1] - ys[0]) / (xs[1] - xs[0])
    b2 = ((ys[2] - ys[1]) / (xs[2] - xs[1]) - b1) / (xs[2] - xs[0])
    return b0 + b1 * (x - xs[0]) + b2 * (x - xs[0]) * (x - xs[1])

p2a = newton_kuadratik([1.0, 2.0, 3.0], [0.0, 0.6931, 1.0986], 2.5)
p2b = newton_kuadratik([2.0, 3.0, 4.0], [0.6931, 1.0986, 1.3863], 2.5)
print(f"p2 titik 1,2,3 : {p2a:.6f}   Ea = {abs(eksak - p2a):.4e}")
print(f"p2 titik 2,3,4 : {p2b:.6f}   Ea = {abs(eksak - p2b):.4e}")

Cara membaca kode (bahasa awam):

• b0 = ys[0] = koefisien pertama polinom Newton: cukup nilai fungsi di titik pertama.
• b1 = ... = selisih terbagi orde satu antara dua titik pertama; pada dua titik berjarak 1 ini nilainya sama dengan kemiringan garis pada interpolasi linier.
• b2 = ... = selisih terbagi orde dua: selisih dua kemiringan, dibagi jarak total titik terluar. Inilah suku yang "mengangkat" garis menjadi parabola dan mulai menangkap kelengkungan fungsi.
• Dua baris terakhir = menguji dua trio titik. Keduanya sah secara matematis (parabola melewati tiga titiknya masing-masing), dan justru perbedaan hasilnyalah yang menjadi bahan analisis.

Output:

p2 titik 1,2,3 : 0.931800   Ea = 1.5509e-02
p2 titik 2,3,4 : 0.910575   Ea = 5.7157e-03

4. Rangkum ke dalam tabel perbandingan:

Tabel 4. Perbandingan Hasil Interpolasi Linier dan Kuadratik pada x = 2.5

Polinom	Titik yang dipakai	Taksiran	Galat absolut
Linier $p_1$	2, 3	0.895850	$2.04\times {10}^{-2}$
Kuadratik $p_2$	1, 2, 3	0.931800	$1.55\times {10}^{-2}$
Kuadratik $p_2$	2, 3, 4	0.910575	$\mathbf{5.72}\times {\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

5. Visualisasikan ketiga kurva terhadap fungsi eksak pada rentang $[1,4]$:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xs = np.linspace(1.0, 4.0, 300)
plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.plot(xs, np.log(xs), color="k", lw=2.2, label="ln x (eksak)")
plt.plot(xs, [interpolasi_linier(2.0, 0.6931, 3.0, 1.0986, t) for t in xs],
         "--", label="p1 (2,3)")
plt.plot(xs, [newton_kuadratik([1.0, 2.0, 3.0], [0.0, 0.6931, 1.0986], t) for t in xs],
         "--", label="p2 (1,2,3)")
plt.plot(xs, [newton_kuadratik([2.0, 3.0, 4.0], [0.6931, 1.0986, 1.3863], t) for t in xs],
         "--", label="p2 (2,3,4)")
plt.plot([2.5], [math.log(2.5)], "o", ms=9, color="tab:red", label="target ln 2.5")
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y")
plt.title("Interpolasi Linier dan Kuadratik pada Tabel ln x")
plt.legend(); plt.grid(True)
plt.show()

6. Tuliskan Lesson Learnt dari Tabel 4: (a) memperbanyak titik tidak otomatis memperbaiki taksiran, karena trio $(1,2,3)$ kalah dari trio $(2,3,4)$ meski keduanya berderajat dua; (b) apa ciri trio terbaik, dan bagaimana kaitannya dengan faktor $Q_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$ yang mengecil ketika titik-titik mengapit rapat di sekitar target?

Penjelasan: Untuk $x=2.5$, trio $(2,3,4)$ menempatkan target di tengah rentang titik, sementara trio $(1,2,3)$ menempatkannya di ujung. Sesuai analisis galat interpolasi, $|Q_{n+1}(x)|$ minimum di pertengahan rentang titik dan membesar ke arah ujung, sehingga memilih titik yang mengapit dan mengitarai target adalah aturan praktis pertama interpolasi. Pelajaran kedua menyambung Modul 1: galat tabel empat angka bena (pembulatan data) ikut terbawa ke polinom; menambah derajat tidak dapat menambal galat yang sudah ada di dalam data.

III.4. Task II: Polinom Lagrange

TASK II: POLINOM LAGRANGE ORDE-3 UNTUK EMPAT TITIK

Sekarang kita memakai seluruh empat titik tabel sekaligus lewat rumus yang simetris dan berlaku untuk sebarang sebaran titik.

1. Implementasikan polinom Lagrange untuk $n+1$ titik sebarang:

def lagrange(xs, ys, x):
    """p_n(x): polinom Lagrange untuk titik-titik (xs, ys)."""
    n = len(xs)
    jumlah = 0.0
    for i in range(n):
        L = 1.0
        for j in range(n):
            if j != i:
                L *= (x - xs[j]) / (xs[i] - xs[j])
        jumlah += ys[i] * L
    return jumlah

Cara membaca kode (bahasa awam):

• L = 1.0 lalu L *= (x - xs[j]) / (xs[i] - xs[j]) = membangun basis kardinal $L_i(x)$: kalikan semua pecahan $\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ untuk $j\ne i$. Perhatikan pembilang dan penyebut: pada $x=x_i$ setiap pecahan bernilai 1 sehingga $L_i=1$; pada $x=x_j$ (titik lain) satu pecahan bernilai 0 sehingga seluruh hasil kali lenyap.
• jumlah += ys[i] * L = menjumlahkan kontribusi setiap titik data, masing-masing diberi bobot basisnya; seperti pemilihan suara di mana setiap kandidat hanya menerima suara dari daerahnya sendiri.
• Kompleksitas = dua perulangan bersarang, kira-kira $n^2$ operasi untuk satu titik evaluasi; murah untuk tabel kecil, tetapi patut diingat saat tabel membesar.

2. Verifikasi dua properti penting, lalu taksir $\ln 2.5$:

print("uji melewati titik data:")
for i in range(4):
    print(f"  p3({x_tabel[i]}) = {lagrange(x_tabel, y_tabel, x_tabel[i]):.4f}"
          f"  (harus {y_tabel[i]:.4f})")

p3 = lagrange(x_tabel, y_tabel, 2.5)
print(f"\np3(2.5) = {p3:.7f}   Ea = {abs(math.log(2.5) - p3):.4e}")

Output:

uji melewati titik data:
  p3(1.0) = 0.0000  (harus 0.0000)
  p3(2.0) = 0.6931  (harus 0.6931)
  p3(3.0) = 1.0986  (harus 1.0986)
  p3(4.0) = 1.3863  (harus 1.3863)

p3(2.5) = 0.9211875   Ea = 4.90e-03

3. Bandingkan dengan Tabel 4: polinom kubik (empat titik) menghasilkan galat $4.90\times {10}^{-3}$, hanya sedikit lebih baik daripada kuadratik terpusat ($5.72\times {10}^{-3}$) meski memakai satu titik tambahan, dan tidak mengalahkannya dengan selisih besar. Catat pula arah melesetnya: taksiran 0.9212 berada di atas nilai eksak; tanda (arah) meleset ini akan bisa dijelaskan setelah tabel selisih terbagi diperoleh pada Task III.

4. Plot polinom orde-3 pada rentang yang lebih lebar, $[0.5,4.5]$, untuk mengamati perilaku di luar rentang titik (ekstrapolasi):

xs = np.linspace(0.5, 4.5, 400)
plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.plot(xs, np.log(xs), color="k", lw=2.2, label="ln x (eksak)")
plt.plot(xs, [lagrange(x_tabel, y_tabel, t) for t in xs], "--",
         lw=1.8, label="p3 Lagrange (4 titik)")
plt.plot(x_tabel, y_tabel, "s", ms=7, color="tab:orange", label="titik data")
plt.ylim(-1.5, 2.0)
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("y")
plt.title("Polinom Lagrange Orde-3 pada Tabel ln x")
plt.legend(); plt.grid(True)
plt.show()

Perhatikan pada plot: kurva polinom menempel pada fungsi eksak di sekitar titik-titik data, mulai melenceng di antara titik, dan menjauh paling kencang di luar rentang $[1,4]$ (daerah ekstrapolasi, $x<1$ dan $x>4$).

5. Tuliskan Lesson Learnt: (a) mengapa verifikasi p3(x_i) = y_i penting dilakukan sebelum memakai fungsi interpolasi; (b) mengapa ekstrapolasi lebih berbahaya daripada interpolasi, dikaitkan dengan $Q_{n+1}(x)$ yang tumbuh sebagaimana dianalisis pada teori; (c) kapan menambah titik (derajat) sepadan dan kapan tidak.

Penjelasan: Galat interpolasi nol di titik data dan membesar ke arah ujung rentang; di luar rentang, setiap faktor $(x-x_i)$ pada $Q_{n+1}$ tumbuh tanpa penahan, sehingga polinom lepas dari fungsi asal. Dalam praktik rekayasa, taksiran di luar rentang data hanya boleh dilakukan dengan kesadaran penuh bahwa tidak ada jaminan galat, dan sebaiknya disertai penambahan data baru, bukan sekadar memperpanjang polinom.

III.5. Task III: Polinom Newton dan Selisih Terbagi

TASK III: TABEL SELISIH TERBAGI + SIFAT MENAMBAH TITIK

Metode ketiga menghitung koefisien secara bertingkat lewat tabel, lalu menunjukkan keunggulan yang tidak dimiliki Lagrange: data baru masuk tanpa menghitung ulang.

1. Implementasikan tabel selisih terbagi dan evaluasi polinom Newton:

import numpy as np

def tabel_selisih_terbagi(xs, ys):
    """Matriks segitiga ST; kolom j menyimpan selisih terbagi orde j."""
    n = len(xs)
    ST = np.zeros((n, n))
    ST[:, 0] = ys                      # kolom 0 = f[xi]
    for j in range(1, n):              # isi kolom demi kolom ke kanan
        for i in range(n - j):
            ST[i, j] = (ST[i+1, j-1] - ST[i, j-1]) / (xs[i+j] - xs[i])
    return ST

def newton_polinom(ST, xs, x):
    """Evaluasi p_n(x) dari koefisien baris pertama tabel selisih terbagi."""
    jumlah = ST[0, 0]                  # suku pertama: f[x0]
    faktor = 1.0
    for j in range(1, len(xs)):
        faktor *= (x - xs[j-1])        # (x-x0)(x-x1)...(x-x_{j-1})
        jumlah += ST[0, j] * faktor
    return jumlah

ST = tabel_selisih_terbagi(x_tabel, y_tabel)
for i in range(4):
    print(f"{x_tabel[i]:6.1f} {ST[i,0]:8.4f} {ST[i,1]:10.4f} "
          f"{ST[i,2]:12.4f} {ST[i,3]:14.4f}")
p3 = newton_polinom(ST, x_tabel, 2.5)
print(f"\np3 Newton (2.5) = {p3:.7f}   Ea = {abs(math.log(2.5) - p3):.4e}")

Cara membaca kode (bahasa awam):

• ST[:, 0] = ys = kolom pertama tabel diisi nilai fungsi; itulah selisih terbagi orde nol.
• ST[i, j] = (ST[i+1, j-1] - ST[i, j-1]) / (xs[i+j] - xs[i]) = inti tabel: selisih terbagi orde $j$ adalah selisih dua entri kolom sebelumnya (kiri-bawah dikurangi kiri-atas), dibagi jarak kedua titik terluarnya. Satu baris kode ini mewakili seluruh rekursi pada teori.
• Perulangan for j ... for i in range(n - j) = mengisi kolom demi kolom; tiap kolom satu baris lebih pendek dari kolom sebelumnya, membentuk segitiga bawah.
• newton_polinom membaca hanya baris pertama ST[0, j] = koefisien polinom Newton; faktor mengalikan rantai $(x-x_0)(x-x_1)\cdots$ satu per satu sehingga biaya evaluasi hanya sebanding jumlah titik, bukan kuadratnya seperti Lagrange.

Output (koefisien polinom = baris pertama, $f[x_0]=0$, $f[x_0,x_1]=0.6931$, $f[x_0,x_1,x_2]=-0.1438$, $f[x_0,\dots ,x_3]=0.0283$):

   1.0   0.0000     0.6931       -0.1438           0.0283
   2.0   0.6931     0.4055       -0.0589
   3.0   1.0986     0.2877
   4.0   1.3863

p3 Newton (2.5) = 0.9211875   Ea = 4.90e-03

Tabel 5. Tabel Selisih Terbagi untuk Data Tabel 3

$i$	$x_i$	$f[x_i]$	$f[x_i,x_{i+1}]$	$f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}]$	$f[x_i,\dots ,x_{i+3}]$
0	1.0	0.0000	0.6931	−0.1438	0.0283
1	2.0	0.6931	0.4055	−0.0589
2	3.0	1.0986	0.2877
3	4.0	1.3863

Nilai $p_3(2.5)$ sama persis dengan hasil Lagrange pada Task II (0.9211875) — bukti eksperimental teorema keunikan: dua metode hanyalah dua cara menulis polinom yang sama.

2. Tambahkan titik kelima $x_4=5$, $\ln 5=1.6094$ (empat angka bena), lalu perluas tabel:

x5 = x_tabel + [5.0]
y5 = y_tabel + [1.6094]
ST5 = tabel_selisih_terbagi(x5, y5)

print("koefisien baru (kolom terpendek tabel):")
for j in range(1, 5):
    print(f"  f[x0,...,x{j}] = {ST5[0, j]:.6f}")

p4 = newton_polinom(ST5, x5, 2.5)
print(f"\np4 (2.5) = {p4:.7f}   Ea = {abs(math.log(2.5) - p4):.4e}")

Output:

koefisien baru (kolom terpendek tabel):
  f[x0,...,x1] = 0.693100
  f[x0,...,x2] = -0.143800
  f[x0,...,x3] = 0.028300
  f[x0,...,x4] = -0.004858

p4 (2.5) = 0.9184547   Ea = 2.16e-03

3. Tuliskan Lesson Learnt: (a) bandingkan upaya menampung titik baru pada Newton (empat koefisien lama terpakai ulang, hanya koefisien $f[x_0,\dots ,x_4]$ yang dihitung) dengan Lagrange yang harus menghitung ulang seluruh bobot; (b) amati tren koefisien tinggi yang mengecil ($0.0283\to -0.0049$) dan kaitkan dengan perilaku $\ln x$ yang turunan tingginya makin kecil; (c) mengapa polinom Newton menjadi dasar metode praktis pada pustaka numerik untuk data yang bertambah (misalnya data sensor yang datang per detik).

Penjelasan: Koefisien selisih terbagi orde $k$ berelasi dengan turunan ke-$k$: $f[x_0,\dots ,x_k]\approx f^{(k)}(\xi )/k!$ untuk suatu $\xi$ di rentang titik, sama seperti sisa deret Taylor Modul 2. Pada $\ln x$, $|f^{(k)}|$ mengecil cepat untuk $k$ besar pada $x>1$, sehingga koefisien tinggi membesar tidak; inilah sebabnya menambah derajat pada tabel $\ln x$ aman-aman saja. Koefisien baru $f[x_0,\dots ,x_4]=-0.0049$ juga menepati janji Task II: karena $Q_4(2.5)=(1.5)(0.5)(-0.5)(-1.5)=0.5625>0$ dan koefisiennya negatif, diperkirakan $f(2.5)-p_3(2.5)\approx f[x_0,\dots ,x_4]Q_4(2.5)<0$, yaitu polinom meleset ke atas, persis seperti hasil pengukuran. Task IV akan menunjukkan fungsi yang tidak seberuntung ini.

III.6. Task IV: Galat Interpolasi dan Fenomena Runge

TASK IV: KETIKA MENAMBAH DERAJAT JUSTRU MERUSAK — FENOMENA RUNGE

Fungsi uji terakhir, $f(x)=1/(1+25x^2)$ pada $[-1,1]$, mulus di mana-mana, tetapi berubah sangat cepat di sekitar $x=0$. Di sinilah polinom derajat tinggi dengan titik berjarak sama menemui batasnya.

1. Hitung galat maksimum interpolasi pada kisi evaluasi rapat, untuk dua penataan titik: berjarak sama dan Chebyshev:

import numpy as np

runge = lambda x: 1.0 / (1.0 + 25.0 * x * x)

grid = np.linspace(-1.0, 1.0, 2001)      # kisi evaluasi (bukan titik data!)
print(f"{'n':>3} {'jarak-sama':>12} {'Chebyshev':>12}")
for n in [2, 4, 8, 12, 16]:
    xe = np.linspace(-1.0, 1.0, n + 1)                     # titik berjarak sama
    xc = np.cos((2 * np.arange(n + 1) + 1) * np.pi / (2 * n + 2))   # Chebyshev
    Ee = max(abs(runge(t) - lagrange(xe, runge(xe), t)) for t in grid)
    Ec = max(abs(runge(t) - lagrange(xc, runge(xc), t)) for t in grid)
    print(f"{n:>3} {Ee:>12.4e} {Ec:>12.4e}")

Cara membaca kode (bahasa awam):

• runge = lambda x: ... = fungsi uji Carl Runge (1901); bentuknya seperti lonceng tajam di tengah yang landai ke 0 di ujung.
• grid = 2001 titik pengamat yang merata, bukan titik data; galat maksimum diukur pada kisi ini agar osilasi sempit di antara titik data tidak lolos dari pandangan (trik yang sama dengan pengukuran overshoot Gibbs pada Modul 2).
• xe = np.linspace(-1.0, 1.0, n+1) = $n+1$ titik data berjarak sama, cara paling alami orang mengambil sampel tabel.
• xc = np.cos(...) = titik Chebyshev: proyeksi akar polinom Chebyshev ke sumbu-x, yang otomatis menggerombol rapat di kedua ujung selang dan renggang di tengah; rumusnya sekali baris namun efeknya besar.
• Dua baris Ee/Ec = galat terburuk di seluruh kisi untuk masing-masing penataan titik; bandingkan arah perubahannya saat $n$ naik.

Output:

  n   jarak-sama    Chebyshev
  2   6.4623e-01   6.0060e-01
  4   4.3836e-01   4.0202e-01
  8   1.0452e+00   1.7083e-01
 12   3.6633e+00   6.9216e-02
 16   1.4394e+01   3.2613e-02

Tabel 6. Galat Maksimum Interpolasi Runge: Titik Berjarak Sama vs Titik Chebyshev

Derajat $n$	Jarak sama $max|E|$	Chebyshev $max|E|$
2	0.646	0.601
4	0.438	0.402
8	1.045	0.171
12	3.663	0.069
16	14.39	0.033

2. Amati pergantian nasib: hingga $n=4$ kedua penataan mirip, tetapi mulai $n=8$ galat jarak-sama berbalik membesar (divergen), sedangkan Chebyshev terus mengecil mendekati nol. Plot ketiga polinom jarak-sama untuk melihat bentuk bencananya:

xs = np.linspace(-1.0, 1.0, 800)
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(xs, runge(xs), color="k", lw=2.5, label="f(x) eksak")
for n, warna in [(4, "tab:green"), (8, "tab:orange"), (12, "tab:red")]:
    xe = np.linspace(-1.0, 1.0, n + 1)
    plt.plot(xs, [lagrange(xe, runge(xe), t) for t in xs], "--",
             lw=1.4, color=warna, label=f"jarak-sama n = {n}")
plt.ylim(-1.5, 8.0)
plt.xlabel("x"); plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Fenomena Runge: Titik Berjarak Sama")
plt.legend(); plt.grid(True)
plt.show()

Osilasi liar terkonsentrasi di dekat ujung selang (sekitar $|x|>0.7$), persis di mana $|Q_{n+1}(x)|$ terbesar; di tengah selang polinom justru cukup patuh. Amplitudo osilasi ini tumbuh eksponensial terhadap derajat.

3. Ulangi plot dengan titik Chebyshev pada $n=4$, 8, dan 12 (derajat yang sama dengan Gambar 3 agar keduanya dapat dibandingkan langsung):

Dengan titik yang dirapatkan di ujung, polinom orde 8 dan 12 hampir menempel pada fungsi eksak di seluruh selang; keunggulan Chebyshev bukan sihir, melainkan pemerataan beban galat: titik rapat menekan $|Q_{n+1}(x)|$ di daerah yang tadinya paling rawan.

4. Tuliskan Lesson Learnt: (a) mengapa "tambah derajat pasti makin akurat" adalah mitos, dan pada fungsi seperti apa mitos itu runtuh; (b) dua jalan keluar yang telah dibuktikan (titik Chebyshev) dan yang disebut di teori (potongan polinom derajat rendah/spline); (c) kaitan dengan analisis $Q_{n+1}$ dan besarnya turunan-turunan tinggi fungsi Runge yang tumbuh deras seiring ordena.

Penjelasan: Fenomena Runge adalah kegagalan konvergensi, bukan galat pemrograman. Pada praktik rekayasa, data sering tidak bisa dipilih bebas (titik Chebyshev butuh kebebasan menempatkan sampel), sehingga jalan keluar yang paling umum adalah meninggalkan polinom tunggal: memecah rentang menjadi potongan-potongan pendek yang masing-masing diinterpolasi polinom derajat rendah (kubik) yang dihaluskan sambungannya, dikenal sebagai spline; inilah yang dipakai grafika komputer, CAD, dan animasi. Untuk data yang mengandung derau pengukuran, jalur yang tepat bahkan bukan interpolasi sama sekali, melainkan regresi kuadrat terkecil.

III.7. Kesimpulan Praktikum

Tabel 7. Panduan Memilih Metode Interpolasi Polinom

Situasi	Rekomendasi	Alasan
Taksiran cepat di antara dua entri tabel	Linier (dua titik terdekat)	Murah, cukup baik untuk tabel rapat dan fungsi landai
Butuh kelengkungan, target di tengah rentang	Kuadratik dengan titik yang mengapit target	$
Data sejumlah kecil-menengah, sebaran bebas	Lagrange	Rumus simetris, berlaku untuk titik tak berjarak sama
Data bertambah terus (sensor, streaming)	Newton + tabel selisih terbagi	Titik baru hanya menambah satu koefisien
Banyak titik atau fungsi berubah cepat	Spline derajat rendah / titik Chebyshev	Polinom tunggal derajat tinggi berisiko osilasi Runge
Data mengandung derau pengukuran	Regresi (bukan interpolasi)	Interpolasi memaksakan melewati derau sehingga ikut meniru galatnya

Dari seluruh task dapat disimpulkan bahwa: (1) polinom interpolasi derajat $\le n$ melalui $n+1$ titik bersifat unik, sehingga Lagrange dan Newton hanyalah dua penulisan dari polinom yang sama, dan pemilihan metode adalah soal bentuk, kenyamanan, dan biaya; (2) pemilihan titik sama menentukannya dengan derajat: titik yang mengapit target memberi galat terkecil karena faktor $Q_{n+1}(x)$ minim di tengah rentang; (3) polinom Newton unggul saat data bertambah berkat tabel selisih terbagi yang menular, sementara Lagrange harus dihitung ulang seluruhnya; (4) galat interpolasi memiliki rumus teoretis $E(x)=f^{(n+1)}(c)Q_{n+1}(x)/(n+1)!$ yang menyatakan dua sumber risiko sekaligus: fungsi yang berubah cepat dan posisi evaluasi di tepi rentang; serta (5) menaikkan derajat bukan obat mujarab, fenomena Runge membuktikan polinom tunggal derajat tinggi dengan titik berjarak sama dapat membuat galat membesar tanpa batas, sehingga praktik yang sehat adalah derajat rendah, potongan (spline), atau penataan titik Chebyshev.

III.8. Tugas Praktikum

Kerjakan soal berikut pada notebook yang sama, kemudian kumpulkan sesuai mekanisme pada BAGIAN IV. Kunci jawaban tersedia pada dosen/tim praktikum dan dibahas pada pertemuan berikutnya.

1. Tabel akar kuadrat. Diberikan tabel $\{0\to 0,1\to 1,4\to 2,9\to 3\}$ (yaitu $\sqrt{x}$ pada kuadrat sempurna). Taksirlah $\sqrt{3}$ dan $\sqrt{5}$ dengan interpolasi linier (dua titik terdekat) dan polinom Lagrange kubik (empat titik), lalu bandingkan keduanya dengan nilai eksak. Hitung galat relatif setiap taksiran. Petunjuk analisis: hasil linier 1.6667 dan 2.2000, sedangkan kubik justru lebih buruk ($\sqrt{3}$ tertaksir 1.9000 dan $\sqrt{5}$ tertaksir 2.0000); jelaskan mengapa, dengan memperhatikan jarak antar titik yang tidak seragam dan perilaku $\sqrt{x}$ yang curam di dekat nol.
2. Interpolasi terbalik. Dari Tabel 3 (tabel $\ln x$), tentukan $x$ sehingga $\ln x=0.9$ dengan interpolasi terbalik linier dan kuadratik (tukar peran kolom $x$ dan $y$), lalu bandingkan dengan nilai eksak $e^{0.9}=2.459603$. Petunjuk: hasil linier 2.510234 dan kuadratik 2.471960; jelaskan mengapa galat terbalik lebih besar daripada galat interpolasi maju pada titik yang setara, dan kapan interpolasi terbalik tidak sah dipakai.
3. Verifikasi rumus galat. Untuk $f(x)=\sin x$ dengan titik $x_0=0.2$ dan $x_1=0.4$, taksirlah $\sin (0.32)$ dengan interpolasi linier. Hitung galat aktual, lalu hitung batas atas teoretis $\frac{M_2}{2}|(x-x_0)(x-x_1)|$ dengan $M_2=\underset{[0.2,0.4]}{max}|f^{″}(x)|$, dan tunjukkan galat aktual tidak melampaui batas tersebut. Petunjuk: galat aktual $1.448\times {10}^{-3}$, batas atas $1.869\times {10}^{-3}$.
4. Runge lanjutan. Perluas Tabel 6 untuk $n=6,10,14$ dengan titik berjarak sama (petunjuk hasil: galat maksimum $6.17\times {10}^{-1}$, $1.92$, $7.19$), lalu carilah derajat terkecil $n$ dengan titik Chebyshev yang menghasilkan galat maksimum di bawah $0.1$ (petunjuk: tercapai pada $n=12$ dengan galat $6.92\times {10}^{-2}$). Tuliskan program pencariannya.

III.9. Soal Latihan HOTS: Pemrograman ala Kompetisi (Kumulatif Modul 1 sampai 5)

Soal-soal berikut ala kompetisi pemrograman: program Anda membaca masukan sesuai format, lalu mencetak keluaran persis seperti contoh. Latihan ini melatih kemampuan berpikir tingkat tinggi (HOTS) sekaligus merangkum materi Modul 1 (galat dan floating point), Modul 2 (deret Taylor), Modul 3 (pencarian akar), Modul 4 (sistem persamaan lanjar), dan Modul 5 (interpolasi polinom). Kerjakan mandiri di notebook; cocokkan keluaran program Anda dengan contoh keluaran yang diberikan (semua angka contoh telah diverifikasi dengan Python).

Problem A. Tabel Seling [C4 Analisis · Modul 5]

Sebuah sensor mengirim data pada interval tetap; nilainya antara dua waktu pengukuran harus ditaksir secara linier. Diberikan tabel $n$ titik $(x_i,y_i)$ dengan $x_i$ menaik, dan $q$ pertanyaan. Untuk setiap pertanyaan $t$ yang dijamin terletak di antara $x_0$ dan $x_{n-1}$, keluarkan taksiran linier antara dua titik yang mengapitnya (6 desimal).

Masukan: baris pertama $n$ ($2\le n\le 1000$); $n$ baris berisi $x_i{y}_i$; baris berikutnya $q$ ($1\le q\le 1000$); $q$ baris berisi $t$.

Keluaran: $q$ baris taksiran.

masukan:
4
0 0.0
10 0.1736
20 0.3420
30 0.5
2
5
15

keluaran:
0.086800
0.257800

Petunjuk: cari indeks $k$ terbesar dengan $x_k\le t$ (cukup perulangan atau pencarian biner), lalu terapkan rumus dua titik. Data ini meniru cara pengguna lama membaca tabel sinus: nilai di tengah interval ditaksir garis lurus.

Problem B. Newton Kuadratik [C4 Analisis · Modul 5]

Diberikan tiga titik $(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ dengan $x_i$ berbeda semua, dan satu titik tanya $t$. Bentuklah polinom Newton kuadratiknya, lalu keluarkan $p_2(t)$ (6 desimal) dan koefisien selisih terbagi kedua $f[x_0,x_1,x_2]$ (6 desimal).

Masukan: baris pertama $T$ ($1\le T\le 100$); $T$ baris berisi x0 y0 x1 y1 x2 y2 t.

Keluaran: untuk tiap kasus satu baris p2 dd2.

masukan:
2
1.0 0.0 2.0 0.6931 3.0 1.0986 2.5
2.0 0.6931 3.0 1.0986 4.0 1.3863 2.5

keluaran:
0.931800 -0.143800
0.910575 -0.058900

Petunjuk: koefisien kedua adalah selisih dua kemiringan dibagi rentang titik terluar; bandingkan kedua kasus pada kolom pertama dan diskusikan mengapa trio kedua lebih akurat (bahan Lesson Learnt Task I).

Problem C. Lagrange Empat Titik [C4 Analisis · Modul 5]

Diberikan empat titik $(x_i,y_i)$ dan titik tanya $t$. Keluarkan nilai polinom Lagrange orde-3 di $t$ dengan 10 desimal. Titik boleh tidak berjarak sama.

Masukan: baris pertama $T$ ($1\le T\le 100$); untuk tiap kasus: satu baris berisi x0 x1 x2 x3, satu baris y0 y1 y2 y3, satu baris t.

Keluaran: $T$ baris nilai $p_3(t)$.

masukan:
1
1.0 2.0 3.0 4.0
0.0 0.6931 1.0986 1.3863
2.5

keluaran:
0.9211875000

Petunjuk: gunakan fungsi lagrange dari Task II apa adanya; data pada contoh adalah Tabel 3 sehingga hasilnya harus sama persis dengan Task II. Ketelitian pencetakan (10 desimal) adalah bagian dari latihan pemformatan angka.

Problem D. Interpolasi Terbalik [C5 Evaluasi · Modul 3 + Modul 5]

Dari tabel $\ln x$ empat titik pada masukan, tentukan $x$ sehingga $\ln x=y_{\text{target}}$ (dijamin $y_{\text{target}}$ berada di dalam rentang nilai tabel) dengan interpolasi terbalik: pertama linier pada dua titik yang mengapit target, lalu kuadratik pada tiga titik terpusat. Keluarkan kedua taksiran (6 desimal).

Masukan: baris pertama $T$ ($1\le T\le 100$); untuk tiap kasus: empat baris x_i y_i (x menaik), satu baris y_target.

Keluaran: untuk tiap kasus dua baris, linier x dan kuadrat x.

masukan:
1
1.0 0.0
2.0 0.6931
3.0 1.0986
4.0 1.3863
1.0

keluaran:
linier 2.756843
kuadrat 2.728657

Petunjuk: tukar peran kolom: data menjadi $(y_i,x_i)$ dan evaluasi di $y_{\text{target}}$. Nilai eksak untuk contoh ini adalah $e=2.718282$; hitung galat relatif kedua cara lalu evaluasi kapan interpolasi terbalik aman (fungsi monoton pada rentang) dan bandingkan strategi ini dengan mencari akar $f(x)-y_{\text{target}}=0$ memakai bisection Modul 3.

Problem E. Ledakan Runge [C5 Evaluasi · Modul 1 + Modul 5]

Untuk $f(x)=1/(1+25x^2)$ pada $[-1,1]$, bangun polinom Lagrange derajat $n$ dengan $n+1$ titik berjarak sama, lalu ukur galat maksimum $|f(t)-p_n(t)|$ pada kisi 2001 titik merata dari $-1$ sampai $1$ (termasuk kedua ujung, presisi ganda). Keluarkan galat maksimum dalam notasi ilmiah 3 desimal (format %0.3e).

Masukan: baris pertama $T$ ($1\le T\le 100$); $T$ baris masing-masing berisi satu bilangan bulat $n$ ($1\le n\le 20$).

Keluaran: $T$ baris galat maksimum.

masukan:
2
4
12

keluaran:
4.384e-01
3.663e+00

Petunjuk: kisi evaluasi harus persis np.linspace(-1, 1, 2001) agar hasil identik dengan kunci. Angka-angka ini adalah bukti numerik fenomena Runge (Task IV): galat membesar ketika derajat naik; kaitkan pula dengan epsilon mesin Modul 1 untuk menjelaskan mengapa galat $n=12$ (yang jauh melampaui 1) tidak tertolong oleh presisi ganda mana pun.

Problem F. Detektor Polinom [C6 Mencipta · Modul 4 + Modul 5]

Sebuah kumpulan $n$ titik $(x_i,y_i)$, $x_i$ berbeda semua, dijamin dihasilkan oleh suatu polinom berderajat $d\le n-1$ dengan koefisien tak terlalu kecil. Tentukan derajat terkecil $d$ polinom tersebut hanya dari data. Kriteria programatik: $d=k-1$ untuk $k$ terkecil sehingga seluruh selisih terbagi orde $k$ bernilai nol (mutlaknya di bawah ${10}^{-6}$); jika tidak ada $k\le n-1$ yang memenuhi, jawab $d=n-1$.

Masukan: baris pertama $T$; untuk tiap kasus: satu baris $n$ ($2\le n\le 20$), lalu $n$ baris x_i y_i.

Keluaran: $T$ baris berisi $d$.

masukan:
2
5
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16

keluaran:
2
4

Petunjuk: bangun tabel selisih terbagi dari Task III; tabel selisih terbagi orde $k$ dari polinom derajat $d$ bernilai nol persis begitu $k>d$ (pada kasus pertama, orde 2 konstan 2 dan orde 3 nol). Kasus kedua menarik: $2^x$ bukan polinom, tetapi lima titiknya pasti dilewati tepat oleh satu polinom derajat $\le 4$, sehingga jawaban yang sah dari data memang 4; tuliskan pada komentar program Anda pembiasan pentingnya: data saja tidak akan pernah cukup memastikan fungsi asalnya polinom.

---

BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN

IV.1. Media Pengumpulan

Media pengumpulan menggunakan Microsoft Teams (MS Teams) yang dapat diakses pada link berikut:

https://teams.microsoft.com

Kemudian masuk ke dalam Tim (Team) khusus untuk mata kuliah Komputasi Numerik.

IV.2. Mekanisme Pengumpulan

Mekanisme proses pengumpulan untuk modul praktikum ini mengikuti tahapan berikut:

1. Format penamaan notebook/berkas: gunakan format standar berikut.

   Tabel 8. Standar Penamaan Proyek dan Berkas Pengumpulan Praktikum Komputasi Numerik

   Kode	Penjelasan
   KN2026	Komputasi Numerik tahun 2026
   5A/5B	Kelas
   D4	Prodi D-4 Sarjana Terapan
   2024	Angkatan
   Modul5	Nomor Modul
   001	3 Digit NIM Terakhir

   Format berkas: [KN2026_5A_D4_2024]_Modul5_001.ipynb

2. Ekspor notebook Google Colab/Jupyter menjadi berkas .ipynb (File → Download → Download .ipynb). Apabila diperlukan, lampirkan juga hasil output dalam format .pdf atau .html.

3. Susun Laporan Praktikum (.pdf) yang mencakup:

   • Tangkapan layar (screenshot) notebook dan output yang dihasilkan.
   • Potongan kode (code snippet) Python (Task I, II, III, IV) beserta penjelasan fungsinya.
   • Analisis hasil eksekusi (Lesson Learnt) untuk tiap task.
   • Jawaban Tugas Praktikum (III.8).

4. Kompresi seluruh berkas menjadi satu arsip .zip dengan nama [KN2026_5A_D4_2024]_Modul5_001.zip.

5. Unggah arsip tersebut pada slot Tugas (Assignment) "Pengumpulan Praktikum Modul 5" di Microsoft Teams sebelum batas waktu berakhir.

---

BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM

Penilaian pada praktikum berdasarkan kriteria berikut:

Tabel 9. Rubrik dan Matriks Kriteria Penilaian Evaluasi Praktikum

Kriteria Penilaian	Skor ≥ 80 (A)	Skor 70–79.99 (AB/B)	Skor 60–69.99 (BC/C)	Skor < 60 (D/E)
Linier & Kuadratik (15%)	Kedua interpolasi benar, pengaruh pemilihan titik dianalisis kritis dengan $Q_{n+1}$.	Kedua interpolasi benar tanpa analisis pemilihan titik.	Salah satu interpolasi keliru.	Kedua interpolasi gagal.
Polinom Lagrange (25%)	Fungsi generik benar, verifikasi melewati titik data dan plot eksplorasi ekstrapolasi lengkap.	Fungsi benar, verifikasi/plot kurang lengkap.	Implementasi benar sebagian (basis kardinal keliru).	Gagal mengimplementasikan Lagrange.
Newton & Selisih Terbagi (25%)	Tabel selisih terbagi lengkap benar, perluasan titik kelima didemonstrasikan, kaitan koefisien-turunan dijelaskan.	Tabel benar tanpa demonstrasi perluasan titik.	Ada galat pada pengisian tabel / evaluasi.	Gagal mengimplementasikan Newton.
Galat & Fenomena Runge (15%)	Eksperimen jarak-sama vs Chebyshev lengkap, divergensi dijelaskan lewat $Q_{n+1}$ dan alternatif spline.	Eksperimen lengkap, penjelasan permukaan.	Eksperimen sebagian berjalan.	Tidak melakukan eksperimen Runge.
Pelaporan & Lesson Learnt (20%)	Laporan sangat lengkap: screenshot, analisis kode, lesson learnt mendalam, jawaban tugas benar semua.	Laporan lengkap dengan screenshot dan penjelasan kode standar.	Laporan kurang detail, sebagian lesson learnt tidak dicantumkan.	Tidak mengumpulkan laporan / tidak sesuai format.

---

DAFTAR PUSTAKA

Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis (9th ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning.

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers (7th ed.). McGraw-Hill Education.

Gerald, C. F., & Wheatley, P. O. (2004). Applied Numerical Analysis (7th ed.). Pearson.

Kincaid, D., & Cheney, W. (2002). Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing (3rd ed.). Brooks/Cole.

Munir, R. (2021). Metode Numerik (Edisi Revisi). Informatika, Bandung.

LAMPIRAN

Jika Ada