MODUL PRAKTIKUM MATA KULIAH

KOMPUTASI NUMERIK

MODUL 3: SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (METODE TERTUTUP DAN TERBUKA)

JURUSAN TEKNIK KOMPUTER DAN INFORMATIKA

POLITEKNIK NEGERI BANDUNG

2026

---

LEMBAR PERSETUJUAN

SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (METODE TERTUTUP DAN TERBUKA)

Proses	Jabatan	Nama	Tanda Tangan
Disusun oleh	Pengampu Praktikum Mata Kuliah Komputasi Numerik
Diperiksa oleh	Ketua Kelompok Bidang Keahlian (KBK) Multimedia
Disahkan oleh	Ketua Program Sarjana Terapan Teknik Informatika

PUBLISHED BY

Jurusan Teknik Komputer & Informatika Politeknik Negeri Bandung

Jl. Gegerkalong Hilir, Desa Ciwaruga, Kecamatan Parongpong, Kabupaten Bandung Barat, Jawa Barat 40559

Copyright © 2026 by JTK POLBAN

All rights reserved. No part of the contents of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of the publisher.

Penanggung jawab	: Iwan Awaludin
Penanggung jawab	: Muhammad Rizqi Sholahuddin
Tim Penulis	: Tim Praktikum Komputasi Numerik

---

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat karunia dan rida-Nya "SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (METODE TERTUTUP DAN TERBUKA)" telah selesai disusun.

Penyusunan "SOLUSI PERSAMAAN NIRLANJAR (METODE TERTUTUP DAN TERBUKA)" ini bertujuan untuk memberikan petunjuk dan prosedur operasional baku (POB) mengenai proses kegiatan praktikum, mulai dari tahap persiapan, pelaksanaan, pelaporan, dan evaluasi untuk penilaian. Melalui modul ini diharapkan proses praktikum dapat mudah dipahami, baik oleh mahasiswa dan dosen di lingkungan Jurusan Teknik Komputer dan Informatika Politeknik Negeri Bandung.

Banyak persoalan rekayasa dan sains bermuara pada satu pertanyaan: di mana suatu fungsi bernilai nol? Titik setimbang reaksi kimia, tenggang balik investasi, hingga analisis rangkaian nonlinear semuanya menuntut pencarian root (akar) dari sebuah nonlinear equation (persamaan nirlanjar). Sayangnya, berdasarkan teorema Abel-Ruffini, polinom berderajat lima ke atas umumnya tidak memiliki rumus akar analitik, sehingga pendekatan numerik menjadi satu-satunya jalan praktis. Modul 3 ini melatih lima metode klasik: bisection (bagi dua), regula falsi, fixed-point iteration (iterasi titik tetap), Newton-Raphson, dan secant, lengkap dengan analisis convergence (konvergensi) masing-masing: metode mana yang cepat, dan metode mana yang selalu selamat. Pekan ini berformat self-directed learning (belajar mandiri): tanpa kelas pleno dan tanpa pengumpulan tugas, sehingga modul sengaja ditulis setebal dan sedetail ini agar dapat diikuti sendirian, selangkah demi selangkah, layaknya ada dosen yang mendampingi di samping Anda.

Semoga modul ini bermanfaat untuk memperkuat pelaksanaan pengajaran di Jurusan Teknik Komputer & Informatika Politeknik Negeri Bandung, sehingga transparansi dan akuntabilitas kinerja bidang akademik dapat tercapai.

Bandung, 2026

---

DAFTAR ISI

Judul	Halaman
LEMBAR PERSETUJUAN	i
KATA PENGANTAR	iii
DAFTAR ISI	iv
DAFTAR GAMBAR	v
DAFTAR TABEL	vi
IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM	vii
CAPAIAN PEMBELAJARAN	viii
BAGIAN I. BAHAN KAJIAN	1
I.1. Penggunaan Pedoman	1
I.2. Ruang Lingkup	1
I.3. Teknologi	1
I.4. Studi Kasus	2
I.5. Konsep yang Digunakan	2
BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)	3
II.1. Peralatan Praktikum	3
II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja	4
BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)	6
III.1. Teori Singkat: Pencarian Akar Persamaan Nirlanjar	6
III.2. Environment & Setup Praktikum	8
III.3. Task I: Metode Bisection	9
III.4. Task II: Metode Regula Falsi	11
III.5. Task III: Newton-Raphson dan Secant	13
III.6. Task IV: Fixed Point dan Perbandingan Konvergensi	15
III.7. Kesimpulan Praktikum	17
III.8. Tugas Praktikum (Mandiri)	18
III.9. Soal Latihan HOTS: Pemrograman Gaya ICPC (Kumulatif Modul 1 sampai 3)	19
BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN	22
BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM	23
DAFTAR PUSTAKA	24
LAMPIRAN	25

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. Root (Akar) Persamaan Nirlanjar sebagai Titik Potong Kurva dengan Sumbu-x

Gambar 2. Bisection: Interval Pengurung Akar Menyusut Separuh Setiap Iterasi

Gambar 3. Newton-Raphson: Garis Singgung Mengarahkan Lompatan Menuju Akar

Gambar 4. Perbandingan Laju Convergence (Konvergensi) Lima Metode

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Pemetaan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Terhadap Modul Praktikum Komputasi Numerik

Tabel 2. Klasifikasi Metode Pencarian Akar

Tabel 3. Iterasi Lengkap Metode Bisection (Toleransi 10⁻⁶)

Tabel 4. Iterasi Regula Falsi pada f(x) = x³ − x − 2

Tabel 5. Iterasi Newton-Raphson dan Secant

Tabel 6. Perbandingan Jumlah Iterasi Lima Metode (Toleransi 10⁻⁸)

Tabel 7. Panduan Memilih Metode Pencarian Akar

Tabel 8. Standar Penamaan Proyek dan Berkas Pengumpulan Praktikum Komputasi Numerik

Tabel 9. Rubrik dan Matriks Kriteria Penilaian Evaluasi Praktikum

---

IDENTITAS MATA KULIAH, PROGRAM STUDI DAN KURIKULUM

Atribut	Keterangan
Mata Kuliah	: Komputasi Numerik (Praktikum)
Mata Kuliah (Inggris)	: Numerical Computing (Practicum)
Kode Mata Kuliah	: 25TI3101
SKS	: 3 (2 Teori, 1 Praktikum)
Sifat Pengambilan	: Wajib
Bentuk Pembelajaran	: Tutorial, Praktik
Metode Pembelajaran	: Problem Based Learning, Project Based Learning
Media	: Offline / Daring (Google Colab)
Semester	: V
Kelompok Mata Kuliah	: Mata Kuliah KBK Multimedia
Program Pendidikan	: Sarjana Terapan (D-4) Prodi Teknik Informatika
Jurusan	: Teknik Komputer & Informatika
Penyusun	: Iwan Awaludin

---

CAPAIAN PEMBELAJARAN

Tabel 1. Pemetaan Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Terhadap Modul Praktikum Komputasi Numerik

CAPAIAN PEMBELAJARAN MATA KULIAH	INTEGRASI DENGAN MODUL PRAKTIKUM
CPMK 1 Mahasiswa mampu menjelaskan konsep galat numerik, galat pemotongan, dan galat pembulatan dalam komputasi.	MODUL 1
CPMK 2 Mahasiswa mampu menerapkan algoritma numerik untuk menyelesaikan masalah matematika yang kompleks.	MODUL 3, 4, 5, 6
CPMK 3 Mahasiswa mampu menganalisis kestabilan, akurasi, dan konvergensi suatu metode numerik.	MODUL 2, 3, 5, 6
CPMK 4 Mahasiswa mampu mengimplementasikan metode numerik menggunakan bahasa pemrograman.	MODUL 2, 4, 5, 8
CPMK 5 Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan rekayasa dan sains secara numerik dengan pendekatan yang sistematis dan kritis.	MODUL 7, 9, 10, 11

---

BAGIAN I. BAHAN KAJIAN

I.1. Penggunaan Pedoman

Pedoman ini memberikan instruksi sistematis mengenai tata cara persiapan, pengoperasian, penyelesaian tugas praktikum pencarian akar persamaan nirlanjar untuk mata kuliah Komputasi Numerik, hingga mekanisme evaluasi.

Pekan ini adalah pekan self-directed learning (belajar mandiri): tidak ada kelas pleno dan tidak ada pengumpulan tugas. Alur yang disarankan: (1) baca BAGIAN II untuk memastikan perangkat siap; (2) kerjakan BAGIAN III secara berurutan dari Task I sambil menyalin dan menjalankan setiap potongan kode di Google Colab; (3) uji diri dengan Tugas Praktikum (III.8); (4) tantang kemampuan dengan soal pemrograman gaya ICPC (III.9). Alokasikan sekitar dua kali 50 menit untuk BAGIAN III, ditambah waktu latihan sesuai selera.

I.2. Ruang Lingkup

Kegiatan mencakup implementasi lima metode pencarian root (akar) persamaan nonlinear (nirlanjar): dua bracketing method (metode tertutup), yaitu bisection (bagi dua) dan regula falsi (false position), serta tiga open method (metode terbuka), yaitu fixed-point iteration (iterasi titik tetap), Newton-Raphson, dan secant; pencatatan iteration table (tabel iterasi), pemilihan stopping criterion (kriteria penghentian) dan tolerance (toleransi), analisis rate of convergence (laju konvergensi), kasus kegagalan Newton-Raphson, serta pemilihan metode yang tepat untuk suatu persoalan.

I.3. Teknologi

Berikut adalah teknologi yang digunakan pada modul praktikum ini:

• Bahasa Pemrograman Python (versi 3.10 atau 3.11).
• Google Colaboratory (Google Colab), yaitu lingkungan komputasi berbasis cloud yang tampilannya seperti Jupyter Notebook, atau Jupyter Notebook / JupyterLab yang terinstal lokal.
• Library NumPy, terpasang otomatis pada Google Colab atau via pip install numpy.
• Library Matplotlib untuk visualisasi hasil (pip install matplotlib).
• Peramban modern (Google Chrome / Mozilla Firefox) untuk mengakses Google Colab.

I.4. Studi Kasus

Studi kasus utama adalah persamaan kubik $f(x)=x^3-x-2$ yang tidak memiliki akar rasional. Mahasiswa menemukan root (akar) dengan kelima metode, membandingkan jumlah iterasi dan laju penurunan galat, lalu menyelidiki kasus kegagalan Newton-Raphson (osilasi ketika initial guess atau tebakan awal buruk). Sebagai kasus terapan, mahasiswa menyelesaikan $\cos x=x$, persamaan fase sinkronisasi sinyal, melalui fixed-point iteration (iterasi titik tetap).

I.5. Konsep yang Digunakan

Root (Akar): Nilai $x^{\ast }$ sehingga $f(x^{\ast })=0$; secara geometris adalah titik potong kurva $f$ dengan sumbu-$x$. Intermediate value theorem (teorema nilai antara) menjamin akar berada pada interval $[a,b]$ jika $f$ kontinu dan $f(a)f(b)<0$. Ibarat suhu udara: jika pukul 6 pagi tercatat 20°C dan pukul 10 siang tercatat 30°C, pasti ada satu saat suhu tepat 25°C; fungsi yang kontinu tidak bisa "melompati" nilai tengah.

Bracketing Methods (Metode Tertutup): Selalu menjaga akar terkurung dalam interval yang menyusut, sehingga convergence (konvergensi) terjamin meskipun lambat. Bisection membagi dua interval setiap iterasi (galat menurun faktor ½ per iterasi); regula falsi memanfaatkan garis potong (interpolasi linier) sehingga biasanya lebih cepat. Ibarat permainan tebak angka 1 sampai 100: setiap jawaban "terlalu besar" atau "terlalu kecil" memangkas tepat setengah kemungkinan, dan tujuh pertanyaan selalu cukup.

Open Methods (Metode Terbuka): Hanya butuh satu atau dua initial guess (tebakan awal) dan melompat bebas menuju akar lewat rumus iterasi. Jauh lebih cepat (Newton-Raphson konvergen quadratic atau kuadratik: jumlah digit benar berlipat dua setiap iterasi) tetapi tidak dijamin konvergen: gagal bila derivative (turunan) dekat nol atau tebakan awal jauh dari akar. Ibarat menuruni lereng dalam kabut: ikuti kemiringan tanah dan melangkah sejauh garis singgung memotong lembah; begitu kemiringan nyaris datar, langkah menjadi kacau.

Fixed-Point Iteration (Iterasi Titik Tetap): Menulis ulang $f(x)=0$ menjadi $x=g(x)$ lalu mengiterasi $x_{i+1}=g(x_i)$. Konvergen jika $|g^{\prime }(x)|<1$ di sekitar akar. Ibarat mesin fotokopi yang menyalin hasil salinannya sendiri berulang kali: jika proses ini "menenangkan", salinan akhirnya berhenti berubah; jika "menguatkan", salinan melenceng semakin jauh.

Stopping Criterion (Kriteria Penghentian): $|f(x)|<\epsilon$, $|x_{i+1}-x_i|<\epsilon$, atau lebar interval $<\epsilon$. Pilihan tolerance (toleransi) menyeimbangkan akurasi dan biaya komputasi: terlalu ketat membuang waktu, terlalu longgar menyisakan galat.

---

BAGIAN II. PENYIAPAN PELAKSANAAN PRAKTIKUM (PREPARATION)

II.1. Peralatan Praktikum

Kebutuhan peralatan praktikum dapat dilihat pada daftar berikut:

Perangkat Keras (Hardware):

• PC/Laptop (Processor Dual-Core 2.0 GHz+, RAM minimal 4 GB, Ruang Disk minimal 2 GB).
• Koneksi internet yang stabil (wajib apabila menggunakan Google Colab).

Perangkat Lunak Sistem (System Software):

• Sistem Operasi Windows 10/11 64-bit, Linux, atau macOS.

Development Tools:

• Akun Google (Gmail) aktif untuk mengakses Google Colab, atau instalasi Python 3.10/3.11 beserta Jupyter Notebook/JupyterLab untuk penggunaan lokal.
• Library NumPy dan Matplotlib (terpasang otomatis di Colab; pip install numpy matplotlib untuk penggunaan lokal).
• Peramban modern (Google Chrome / Mozilla Firefox).

II.2. Keamanan & Keselamatan Kerja

Komputer merupakan perangkat teknologi komunikasi dan informasi yang sering digunakan dewasa ini. Pada saat bekerja dengan komputer ada beberapa hal yang harus diperhatikan agar tidak berdampak buruk bagi kesehatan bahkan keselamatan kita. Komputer dapat menyebabkan penggunanya menderita nyeri otot dan tulang terutama bahu, pergelangan tangan, leher, punggung, pinggang bagian bawah, mata merah berair, bahkan gangguan penglihatan.

Beberapa hal yang bisa dilakukan untuk menghindari efek negatif dari bekerja dengan komputer:

• Aturlah posisi tubuh saat bekerja dengan komputer sehingga merasa nyaman.
• Aturlah posisi perangkat komputer dan ruangan sehingga memberi rasa nyaman.
• Makan, minum, dan istirahatlah yang cukup.
• Gerakkan badan untuk mengurangi ketegangan otot dan pikiran, dan olahragalah secara teratur.
• Sesekali alihkan pandangan ke luar ruangan untuk menyegarkan mata.

Mengatur posisi tubuh:

• Posisi Kepala & Leher harus tegak lurus dengan wajah menghadap langsung ke komputer, jangan menengadah atau membungkuk.
• Posisi Punggung yang baik adalah tegak, tidak miring ke kanan/kiri, tidak membungkuk dan tidak menyandar terlalu ke belakang.
• Posisi Pundak tidak terlalu terangkat dan tidak terlalu ke bawah, pastikan otot pundak tidak tegang.
• Posisi Lengan & Siku yang baik adalah apabila mengetik dan menggunakan mouse dengan nyaman.
• Posisi Kaki harus bebas, diluruskan sesekali agar aliran darah lancar.

Mengatur Posisi Komputer:

• Monitor harus diletakkan di tempat yang tidak memantulkan cahaya lain.
• Letakkan monitor lebih rendah dari garis horizontal mata.
• Aturlah cahaya monitor (kontras/kecerahan) agar tidak terlalu gelap dan terang.
• Sering-seringlah mengedipkan mata (minimal 5 detik setiap 10 menit).

Istirahat Mata: Terapkan aturan 20-20-20, yaitu setiap 20 menit alihkan pandangan ke objek yang berjarak 20 kaki (±6 meter) selama 20 detik, untuk mencegah kelelahan mata akibat paparan monitor visual.

---

BAGIAN III. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM (STEP BY STEP)

III.1. Teori Singkat: Pencarian Akar Persamaan Nirlanjar

Nonlinear equation (persamaan nirlanjar) adalah persamaan yang tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linier variabelnya, misalnya $x^3-x-2=0$, $\cos x=x$, atau $e^{-x}=\ln x$. Berbeda dengan persamaan linier, tidak ada rumus umum yang selalu berhasil: berdasarkan teorema Abel-Ruffini, polinom berderajat lima ke atas tidak memiliki rumus akar umum, sehingga pendekatan numerik menjadi satu-satunya jalan praktis.

Tabel 2. Klasifikasi Metode Pencarian Akar

Kelompok	Metode	Kebutuhan awal	Jaminan konvergen	Laju
Bracketing (tertutup)	Bisection	Interval $[a,b]$, $f(a)f(b)<0$	Ya	Linear (galat × ½ per iterasi)
Bracketing (tertutup)	Regula falsi	Interval $[a,b]$, $f(a)f(b)<0$	Ya	Linear sampai superlinear
Open (terbuka)	Fixed point	Rumus $x=g(x)$ dan tebakan $x_0$	Hanya jika $|g^{\prime }|<1$	Linear
Open (terbuka)	Newton-Raphson	$x_0$ dan $f^{\prime }(x)$	Tidak dijamin	Quadratic (kuadratik)
Open (terbuka)	Secant	Dua tebakan $x_0,x_1$	Tidak dijamin	Orde 1.618 (golden ratio, rasio emas)

Rumus iterasi (update rule) masing-masing metode:

• Bisection: $c={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$; pertahankan setengah interval yang mengandung akar.
• Regula falsi: $c=b-f(b){\displaystyle \frac{b-a}{f(b)-f(a)}}$; titik potong garis hubung melalui $(a,f(a))$ dan $(b,f(b))$ dengan sumbu-$x$.
• Fixed point: $x_{i+1}=g(x_i)$ dengan $f(x)=0\iff x=g(x)$.
• Newton-Raphson: $x_{i+1}=x_i-{\displaystyle \frac{f(x_i)}{f^{\prime }(x_i)}}$; perpotongan garis singgung (tangent line) dengan sumbu-$x$.
• Secant: $x_{i+1}=x_i-f(x_i){\displaystyle \frac{x_i-x_{i-1}}{f(x_i)-f(x_{i-1})}}$; Newton dengan kemiringan diaproksimasi dari dua titik terakhir (tanpa perlu $f^{\prime }$).

Cara membaca tabel di atas: dua metode pertama menerima syarat lebih berat (harus punya interval pengurung) tetapi dibayar dengan jaminan; tiga metode terakhir lebih serbaguna dan cepat, tetapi hasilnya bisa meleset bila tebakan awal buruk. Ketegangan "jaminan versus kecepatan" inilah benang merah seluruh modul.

III.2. Environment & Setup Praktikum

Praktikum menggunakan Google Colab (direkomendasikan) atau Jupyter Notebook lokal dengan Python 3.10/3.11. Prosedur pembuatan notebook, anatomi sel notebook, dan verifikasi environment identik dengan Modul 1 (BAGIAN III.2). Pastikan import numpy as np, import matplotlib.pyplot as plt, dan import math dapat dijalankan tanpa galat.

III.3. Task I: Metode Bisection

TASK I: BISECTION PADA f(x) = x³ − x − 2

Pada task ini kita mencoba metode paling tua dan paling aman: menebak akar dengan membelah interval, persis seperti permainan tebak angka.

1. Fungsi uji yang dipakai sepanjang modul: $f(x)=x^3-x-2$. Periksa dulu bahwa interval $[1,2]$ mengurung akar:

import math

f = lambda x: x**3 - x - 2
print(f(1), f(2))     # harus beda tanda

Cara membaca kode (bahasa awam):

• f = lambda x: x**3 - x - 2 = membuat fungsi anonim (anonymous function) satu baris: masukan x, keluaran $x^3-x-2$.
• print(f(1), f(2)) = mengintip nilai fungsi di kedua ujung interval; hasil beda tanda berarti kurva menyeberang sumbu-$x$ di antaranya.

Output:

-2 4

Karena $f(1)=-2<0$ dan $f(2)=4>0$, intermediate value theorem (teorema nilai antara) menjamin ada akar di $[1,2]$.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xs = np.linspace(0.4, 2.6, 400)
plt.figure(figsize=(8, 4.5))
plt.plot(xs, f(xs), lw=2, label="f(x) = x^3 - x - 2")
plt.axhline(0, color="0.3", lw=1)
plt.plot([1, 2], [f(1), f(2)], "s", color="0.35")
plt.plot([1.5213797], [0], "o", ms=9, color="tab:red", label="root (akar)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Akar sebagai Titik Potong Kurva dengan Sumbu-x")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

2. Implementasikan bisection lengkap dengan tabel iterasi:

def bisection(f, a, b, tol=1e-6, max_iter=100):
    if f(a) * f(b) > 0:
        raise ValueError("f(a) dan f(b) harus beda tanda")
    print(f"{'i':>3} {'a':>12} {'c':>12} {'b':>12} {'f(c)':>13} {'lebar':>11}")
    for i in range(1, max_iter + 1):
        c = (a + b) / 2
        fc = f(c)
        print(f"{i:>3} {a:>12.7f} {c:>12.7f} {b:>12.7f} {fc:>13.3e} {b-a:>11.7f}")
        if fc == 0:                    # titik tengah tepat menginjak akar
            return c
        if (b - a) / 2 < tol:          # kriteria: lebar interval
            return c
        if f(a) * fc < 0:
            b = c                      # akar di kiri
        else:
            a = c                      # akar di kanan
    return c

akar = bisection(f, 1, 2, tol=1e-6)
print("akar =", akar)
print("f(akar) =", f(akar))

Cara membaca kode (bahasa awam):

• if f(a) * f(b) > 0: raise ValueError = penjaga syarat: jika kedua ujung interval sama tanda, akar tidak terkurung dan program menolak melanjutkan.
• c = (a + b) / 2 = titik tengah interval, kandidat akar pada iterasi ini.
• if fc == 0: return c = keberuntungan langka: titik tengah tepat menginjak akar sehingga program berhenti seketika.
• if (b - a) / 2 < tol = stopping criterion (kriteria penghentian) versi bracketing: jika setengah lebar interval sudah di bawah toleransi, titik tengah dijamin berjarak kurang dari tol dari akar sejati.
• if f(a) * fc < 0: b = c ... else: a = c = jantung bisection: buang setengah interval yang tidak mengandung akar; akar selalu tetap terkurung di dalam [a, b].
• Kolom lebar mencetak b - a sebelum pembaruan; perhatikan nilainya terpangkas setengah secara sempurna: 1.0, 0.5, 0.25, 0.125, ...

Output (dipangkas: 6 iterasi pertama dan 3 terakhir):

  i            a            c            b          f(c)       lebar
  1    1.0000000    1.5000000    2.0000000    -1.250e-01   1.0000000
  2    1.5000000    1.7500000    2.0000000     1.609e+00   0.5000000
  3    1.5000000    1.6250000    1.7500000     6.660e-01   0.2500000
  4    1.5000000    1.5625000    1.6250000     2.522e-01   0.1250000
  5    1.5000000    1.5312500    1.5625000     5.911e-02   0.0625000
  6    1.5000000    1.5156250    1.5312500    -3.405e-02   0.0312500
  ...
 18    1.5213776    1.5213814    1.5213852     9.934e-06   0.0000076
 19    1.5213776    1.5213795    1.5213814    -1.403e-06   0.0000038
 20    1.5213795    1.5213804    1.5213814     4.266e-06   0.0000019
akar = 1.5213804244995117
f(akar) = 4.265829404825894e-06

Tabel 3. Iterasi Lengkap Metode Bisection (Toleransi 10⁻⁶): kolom lebar menunjukkan pemangkasan setengah yang sempurna, dari 1.0 sampai 1.9×10⁻⁶; program berhenti pada iterasi ke-20 karena setengah lebar interval sudah turun di bawah 10⁻⁶.

Visualisasikan mekanisme pengurungan akar:

xs = np.linspace(0.9, 2.1, 400)
plt.figure(figsize=(8, 4.8))
plt.plot(xs, f(xs), lw=2, label="f(x) = x^3 - x - 2")
a, b = 1.0, 2.0
for i in range(8):
    c = (a + b) / 2
    plt.axvspan(a, b, color="tab:orange", alpha=0.08 + 0.02 * i)
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    else:
        a = c
plt.axvline(1.5213797, color="tab:red", ls=":", label="akar")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Bisection: interval mengurung akar menyusut separuh")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Setiap pita jingga adalah interval $[a,b]$ pada satu iterasi: delapan iterasi pertama saja sudah mempersempit wilayah pencarian dari panjang 1.0 menjadi kurang dari 0.01.

3. Tuliskan Lesson Learnt: lebar interval berkurang tepat separuh setiap iterasi; convergence (konvergensi) linear yang sepenuhnya bisa diprediksi. Setelah $n$ iterasi galat maksimum adalah $(b-a)/2^n$, sehingga jumlah iterasi dapat dihitung sebelum eksekusi: $n\ge {\log }_2\frac{b-a}{\epsilon }$.

Penjelasan: Untuk toleransi ${10}^{-6}$ dari interval awal sepanjang 1 berlaku $n=\lceil {\log }_2{10}^6\rceil =20$: persis 20 iterasi pada output. Kepastian semacam ini hanya dimiliki bisection, dan inilah harganya: metode ini sama sekali tidak memanfaatkan bentuk kurva, hanya tanda nilainya.

III.4. Task II: Metode Regula Falsi

TASK II: REGULA FALSI (FALSE POSITION)

Bisection selalu melompat ke titik tengah, padahal nilai fungsi sebenarnya berbisik ke mana akar berada. Regula falsi mendengarkan bisikan itu.

1. Regula falsi mengganti titik tengah dengan perpotongan garis hubung antara $(a,f(a))$ dan $(b,f(b))$:

def regula_falsi(f, a, b, tol=1e-6, max_iter=100):
    print(f"{'i':>3} {'c':>14} {'f(c)':>13}")
    for i in range(1, max_iter + 1):
        c = b - f(b) * (b - a) / (f(b) - f(a))
        fc = f(c)
        print(f"{i:>3} {c:>14.9f} {fc:>13.3e}")
        if abs(fc) < tol:              # kriteria: nilai fungsi
            return c
        if f(a) * fc < 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return c

akar = regula_falsi(f, 1, 2, tol=1e-6)
print("akar =", akar)

Cara membaca kode (bahasa awam):

• c = b - f(b) * (b - a) / (f(b) - f(a)) = rumus garis hubung (straight line): tarik garis lurus dari titik $(a,f(a))$ ke $(b,f(b))$, lalu ambil titik potongnya dengan sumbu-$x$; jika satu sisi kurva jauh lebih dekat ke nol, tebakan otomatis "condong" ke sana, berbeda dengan titik tengah bisection yang buta arah.
• if abs(fc) < tol = stopping criterion versi nilai fungsi (function value): berhenti ketika nilai $f$ sudah cukup dekat ke nol.
• Dua baris terakhir sama dengan bisection: buang setengah interval yang tidak memuat akar; bedanya posisi titik potongnya saja.

Output:

  i              c          f(c)
  1    1.333333333    -9.630e-01
  2    1.462686567    -3.333e-01
  3    1.504019004    -1.018e-01
  4    1.516330565    -2.989e-02
  5    1.519918550    -8.675e-03
  6    1.520957481    -2.509e-03
  7    1.521257749    -7.248e-04
  8    1.521344484    -2.093e-04
  9    1.521369535    -6.046e-05
 10    1.521376769    -1.746e-05
 11    1.521378858    -5.043e-06
 12    1.521379462    -1.456e-06
 13    1.521379636    -4.206e-07
akar = 1.5213796360454928

Tabel 4. Iterasi Regula Falsi pada f(x) = x³ − x − 2: 13 iterasi untuk $|f(c)|<{10}^{-6}$, lebih cepat daripada bisection yang membutuhkan 20 iterasi, karena tebakan memperhitungkan kemiringan fungsi.

2. Tuliskan Lesson Learnt: amati bahwa semua $f(c)$ bernilai negatif; ujung kanan interval ($b=2$) tidak pernah berpindah. Regula falsi bisa "malas" memperkecil interval karena salah satu batas menempel; inilah sebabnya varian modern (Illinois, Brent) mengombinasikannya dengan bisection.

Penjelasan: Garis hubung selalu memotong sumbu-$x$ di sisi kurva yang cembung, sehingga salah satu ujung bracket terkunci. Convergence (konvergensi) tetap terjamin karena akar selalu terkurung, tetapi pada kasus buruk laju hanya sedikit di atas bisection.

III.5. Task III: Newton-Raphson dan Secant

TASK III: METODE TERBUKA (NEWTON-RAPHSON DAN SECANT)

Metode terbuka membuang jangkar interval dan melompat bebas mengikuti bentuk kurva: berikut dua pelompat andalannya.

1. Newton-Raphson membutuhkan turunan analitik $f^{\prime }(x)=3x^2-1$:

df = lambda x: 3 * x**2 - 1

def newton(f, df, x0, tol=1e-8, max_iter=50):
    print("Newton-Raphson:")
    print(f"{'i':>3} {'x':>16} {'f(x)':>13}")
    x = x0
    for i in range(1, max_iter + 1):
        fx = f(x)
        print(f"{i:>3} {x:>16.10f} {fx:>13.3e}")
        if abs(fx) < tol:
            break
        x = x - fx / df(x)
    return x

akar = newton(f, df, 1.5)
print("akar =", akar)

Cara membaca kode (bahasa awam):

• df = lambda x: 3 * x**2 - 1 = turunan analitik dari $f$; Newton menuntut ketersediaan $f^{\prime }$, dan inilah "tiket masuk"-nya.
• x = x - fx / df(x) = inti Newton: dari titik sekarang, tarik garis singgung (tangent line), lalu meluncurlah sepanjang garis itu sampai memotong sumbu-$x$; titik potong itulah tebakan berikutnya.
• Baris pertama output mencetak tebakan awal $x_0$ sebelum digeser, jadi jumlah pembaruan = jumlah baris − 1.

Output:

Newton-Raphson:
  i                x          f(x)
  1     1.5000000000    -1.250e-01
  2     1.5217391304     2.137e-03
  3     1.5213798060     5.894e-07
  4     1.5213797068     4.530e-14
akar = 1.5213797068045751

Visualisasikan lompatan garis singgung:

xs = np.linspace(1.30, 1.85, 400)
plt.figure(figsize=(8, 4.8))
plt.plot(xs, f(xs), lw=2, label="f(x) = x^3 - x - 2")
plt.axhline(0, color="0.3", lw=1)
x0 = 1.5
x1 = x0 - f(x0) / df(x0)
tang = np.linspace(1.38, 1.62, 50)
plt.plot(tang, f(x0) + df(x0) * (tang - x0), "--", color="tab:green",
         label="tangent di x0")
plt.plot([x0, x1], [f(x0), 0], "o", color="tab:green")
plt.plot([x1], [f(x1)], "o", color="tab:orange", label="tebakan berikutnya x1")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Newton-Raphson: garis singgung mengarahkan lompatan")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Dua lompatan saja membawa tebakan dari 1.5 ke 1.5213798, hampir menyentuh akar; bandingkan dengan bisection yang butuh 20 iterasi untuk akurasi lebih rendah.

2. Secant: Newton tanpa turunan:

def secant(f, x0, x1, tol=1e-8, max_iter=50):
    print("Secant:")
    print(f"{'i':>3} {'x':>16} {'f(x)':>13}")
    for i in range(1, max_iter + 1):
        fx0, fx1 = f(x0), f(x1)
        x2 = x1 - fx1 * (x1 - x0) / (fx1 - fx0)
        print(f"{i:>3} {x2:>16.10f} {f(x2):>13.3e}")
        if abs(f(x2)) < tol:
            return x2
        x0, x1 = x1, x2
    return x2

akar = secant(f, 1.0, 2.0)
print("akar =", akar)

Cara membaca kode (bahasa awam):

• x2 = x1 - fx1 * (x1 - x0) / (fx1 - fx0) = kemiringan tidak dihitung dari turunan, tetapi diperkirakan dari garis potong (secant line) yang menembus dua titik terakhir; hasilnya rumus mirip Newton tanpa perlu $f^{\prime }$.
• x0, x1 = x1, x2 = daur ulang: tebakan terlama dibuang, tetapi nilai $f$-nya sudah terpakai sebagai penyusun kemiringan, sehingga tiap iterasi hanya butuh satu evaluasi fungsi baru.

Output:

Secant:
  i                x          f(x)
  1     1.3333333333    -9.630e-01
  2     1.4626865672    -3.333e-01
  3     1.5311694321     5.863e-02
  4     1.5209264205    -2.693e-03
  5     1.5213763167    -2.015e-05
  6     1.5213797080     7.015e-09
akar = 1.5213797079848717

Tabel 5. Iterasi Newton-Raphson dan Secant: Newton selesai dalam 4 baris (tebakan awal + 3 pembaruan) dengan galat menyusut ${10}^{-1}\to {10}^{-3}\to {10}^{-7}\to {10}^{-14}$, yaitu jumlah digit benar berlipat dua setiap pembaruan (convergence quadratic atau kuadratik); secant butuh 6 baris.

3. Tuliskan Lesson Learnt: bandingkan "harga" tiap metode per pembaruan: Newton membayar 1 evaluasi $f$ + 1 evaluasi $f^{\prime }$; secant hanya 1 evaluasi $f$ (berkat daur ulang); bisection paling murah per iterasi tetapi membutuhkan iterasi terbanyak. Metode tercepat per iterasi belum tentu termurah secara total.

Penjelasan: Konvergensi kuadratik berarti begitu galat cukup kecil, pembaruan berikutnya "menggandakan" jumlah digit benar. Inilah metode favorit pustaka numerik modern (misalnya scipy.optimize.newton), dengan dua catatan: tebakan awal harus cukup dekat dan $f^{\prime }$ tidak boleh nol di sekitar jalur iterasi.

III.6. Task IV: Fixed Point dan Perbandingan Konvergensi

TASK IV: ITERASI TITIK TETAP + ANALISIS KONVERGENSI KELIMA METODE

Task penutup menghadirkan metode kelima sekaligus mengadakan lomba adu cepat kelima metode pada persoalan yang sama.

1. Tulis $x^3-x-2=0$ sebagai $x=g(x)=\sqrt[3]{x+2}$, lalu iterasikan:

def fixed_point(g, x0, tol=1e-8, max_iter=50):
    print(f"{'i':>3} {'x':>16}")
    x = x0
    for i in range(1, max_iter + 1):
        x_baru = g(x)
        print(f"{i:>3} {x_baru:>16.10f}")
        if abs(x_baru - x) < tol:      # kriteria: perubahan kecil
            return x_baru
        x = x_baru
    return x

g = lambda x: (x + 2) ** (1 / 3)
akar = fixed_point(g, 1.0)
print("akar (konvergen) =", akar)

Cara membaca kode (bahasa awam):

• g = lambda x: (x + 2) ** (1 / 3) = bentuk lain dari persamaan yang sama: $x^3-x-2=0$ disusun ulang menjadi $x=\sqrt[3]{x+2}$. Banyak bentuk $g$ lain mungkin, dan tidak semuanya konvergen; syaratnya $|g^{\prime }(x)|<1$ di sekitar akar.
• if abs(x_baru - x) < tol = stopping criterion ketiga: perubahan antar iterasi sudah kecil, gejala bahwa iterasi "berhenti berubah".
• x = x_baru = masukkan kembali hasil keluaran sebagai masukan berikutnya, seperti mesin fotokopi menyalin hasil salinannya sendiri.

Output:

   i                x
  1     1.4422495703
  2     1.5098974493
  3     1.5197243050
  4     1.5211412691
  5     1.5213453678
  6     1.5213747615
  7     1.5213789946
  8     1.5213796042
  9     1.5213796920
 10     1.5213797047
 11     1.5213797065
akar (konvergen) = 1.5213797064982224

2. Jalankan kelima metode dengan toleransi ${10}^{-8}$ dan bandingkan jumlah iterasinya:

Tabel 6. Perbandingan Jumlah Iterasi Lima Metode (Toleransi 10⁻⁸)

Metode	Kriteria berhenti	Iterasi	Sifat konvergensi
Bisection	lebar interval < 2×10⁻⁸	27	Linear (terjamin)
Regula falsi	$|f(c)|$ < 10⁻⁸	17	Linear (terjamin)
Fixed point $g(x)=\sqrt[3]{x+2}$	$|\mathrm{\Delta }x|$ < 10⁻⁸	11	Linear ($|g^{\prime }|<1$)
Secant	$|f(x)|$ < 10⁻⁸	6	Orde 1.618
Newton-Raphson	$|f(x)|$ < 10⁻⁸	4	Quadratic (kuadratik)

Catatan pembacaan: kriteria berhenti sengaja dipertahankan sesuai karakter tiap metode; bisection satu-satunya yang memberi jaminan posisi akar (lebar interval), sedangkan metode lain hanya memastikan nilai fungsi atau perubahan bernilai kecil.

Bandingkan laju penurunan galat terhadap akar sejati $x^{\ast }=1.5213797068$:

def jejak_bis(f, a, b, n):
    xs = []
    for _ in range(n):
        c = (a + b) / 2
        xs.append(c)
        a, b = (a, c) if f(a) * f(c) < 0 else (c, b)
    return xs

def jejak_newton(f, df, x0, n):
    xs = [x0]
    for _ in range(n):
        xs.append(xs[-1] - f(xs[-1]) / df(xs[-1]))
    return xs

x_star = jejak_newton(f, df, 1.5, 6)[-1]
plt.figure(figsize=(8, 4.8))
plt.semilogy([abs(x - x_star) for x in jejak_bis(f, 1, 2, 27)], "o-",
             label="bisection")
plt.semilogy([abs(x - x_star) for x in jejak_newton(f, df, 1.5, 4)], "v-",
             label="Newton")
plt.xlabel("iterasi ke-i")
plt.ylabel("galat $|x_i - x^*|$")
plt.title("Perbandingan Laju Konvergensi")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Sebagai latihan mandiri, tambahkan sendiri kurva regula falsi, secant, dan fixed point dengan pola yang sama hingga diperoleh grafik lengkap berikut.

3. Tuliskan Lesson Learnt dari grafik semilog: garis bisection lurus (konvergensi linear), garis Newton menjunjam paling tajam (kuadratik). Diskusikan dengan diri sendiri: kapan metode lambat-tapi-pasti lebih dipilih daripada cepat-tapi-risiko? (petunjuk: fungsi mahal dievaluasi, fungsi tidak mulus, atau kebutuhan sertifikasi kebenaran hasil).

Penjelasan: Dalam praktik rekayasa, kombinasi keduanya sering dipakai: mulai dengan bisection untuk mendekati akar dengan aman, lalu berpindah ke Newton untuk "menyelam" cepat. Strategi hibrid semacam ini menjadi dasar algoritma Brent yang dipakai scipy.optimize.brentq.

III.7. Kesimpulan Praktikum

Tabel 7. Panduan Memilih Metode Pencarian Akar

Situasi	Rekomendasi	Alasan
Butuh jaminan akar ditemukan	Bisection	Satu-satunya yang memberi batas galat pasti sebelum eksekusi
Fungsi mulus dan tebakan awal dekat akar	Newton-Raphson	Konvergensi kuadratik, paling sedikit iterasi
Turunan tidak tersedia atau rumit	Secant	Cukup dua titik; $f$ cukup dievaluasi sekali per iterasi
Fungsi sangat mahal dievaluasi	Hindari bisection murni	Membutuhkan iterasi terbanyak meskipun murah per iterasi
Praktik pustaka modern	Hibrid (Brent)	Berangkat aman dengan bracketing, menutup cepat dengan metode terbuka

Dari seluruh task dapat disimpulkan bahwa: (1) bracketing method (metode tertutup), yaitu bisection dan regula falsi, menjamin convergence (konvergensi) asalkan akar terkurung, dengan harga laju linear; (2) open method (metode terbuka), yaitu fixed point, Newton-Raphson, dan secant, jauh lebih cepat: Newton konvergen kuadratik dan secant mendekati orde emas 1.618, tetapi konvergensinya bergantung pada kualitas initial guess (tebakan awal) dan kestabilan turunan; (3) jumlah iterasi bisection dapat diprediksi analitik lewat ${\log }_2((b-a)/\epsilon )$; dan (4) tidak ada metode terbaik untuk semua situasi: pemilihan metode adalah keputusan rekayasa yang menimbang jaminan, kecepatan, dan biaya evaluasi fungsi.

III.8. Tugas Praktikum (Mandiri)

Pekan ini adalah pekan belajar mandiri: soal-soal berikut untuk melatih diri sendiri dan tidak dikumpulkan. Kerjakan pada notebook yang sama, simpan sebagai bahan diskusi, dan bandingkan jawaban Anda pada pertemuan berikutnya; kunci jawaban tersedia pada dosen/tim praktikum.

1. Persamaan transenden $e^x+x=0$. Akarnya berada di antara $-1$ dan $0$. Selesaikan dengan bisection (toleransi ${10}^{-8}$), Newton-Raphson ($x_0=0$), dan secant ($x_0=-1,x_1=0$). Laporkan akar, nilai $f$(akar), dan jumlah iterasi tiap metode, lalu jelaskan metode mana yang paling efisien untuk kasus ini.
2. Persamaan fase $\cos x=x$. Gunakan fixed-point iteration dengan $g(x)=\cos x$ mulai dari $x_0=1$. Berapa akarnya dan berapa iterasi yang dibutuhkan (toleransi ${10}^{-8}$)? Mengapa iterasi ini konvergen walaupun sangat lambat?
3. Kegagalan Newton-Raphson. Terapkan Newton-Raphson pada $f(x)=x^3-2x+2$ dengan tebakan awal $x_0=0$ selama 6 iterasi. Tuliskan nilai $x$ tiap iterasi dan jelaskan pola yang terjadi serta hubungannya dengan nilai $f^{\prime }(x_0)$.
4. Prediksi teoretis bisection. Tanpa menjalankan program, hitung banyaknya iterasi bisection yang diperlukan untuk menemukan akar $f(x)=e^x+x$ pada interval $[-1,0]$ dengan toleransi ${10}^{-10}$. Verifikasi jawaban Anda dengan program.

III.9. Soal Latihan HOTS: Pemrograman Gaya ICPC (Kumulatif Modul 1 sampai 3)

Soal-soal berikut ala kompetisi pemrograman, program Anda membaca masukan sesuai format, lalu mencetak keluaran persis seperti contoh. Latihan ini melatih kemampuan berpikir tingkat tinggi (HOTS) sekaligus merangkum materi Modul 1 (galat dan floating point), Modul 2 (deret Taylor), dan Modul 3 (pencarian akar). Kerjakan mandiri di notebook; cocokkan keluaran program Anda dengan contoh keluaran yang diberikan (semua angka contoh telah diverifikasi dengan Python).

Problem A. Hampir Sama [C4 Analisis · Modul 1]

Komputer menyimpan bilangan riil dengan bit terbatas sehingga 0.1 + 0.2 tidak persis sama dengan 0.3. Dua bilangan $a$ dan $b$ dinyatakan SAME jika $|a-b|\le {10}^{-9}\cdot max(1,|a|,|b|)$; selain itu DIFF.

Masukan: baris pertama berisi $T$ ($1\le T\le 100$); $T$ baris berikutnya masing-masing berisi dua bilangan riil $a$ dan $b$.

Keluaran: $T$ baris, masing-masing SAME atau DIFF.

masukan:
4
0.30000000000000004 0.3
1.0 1.00000001
10000000000000000 10000000000000002
0.000000000001 0.0

keluaran:
SAME
DIFF
SAME
SAME

Petunjuk: inilah Lesson Learnt Modul 1 tentang membandingkan bilangan floating point dengan tolerance (toleransi) relatif, bukan operator ==.

Problem B. Akar Terkurung [C4 Analisis · Modul 3]

Diberikan $f(x)=x^3-px-q$ dengan $p,q$ bulat, serta interval riil $[a,b]$ yang dijamin mengurung tepat satu akar. Cari akar dengan bisection dan tolerance (toleransi) ${10}^{-6}$ (kriteria lebar interval). Keluarkan akar (6 desimal), jumlah iterasi aktual, dan prediksi teoretis $\lceil {\log }_2\frac{b-a}{{10}^{-6}}\rceil$.

Masukan: baris pertama $T$ ($1\le T\le 100$); $T$ baris berisi p q a b.

Keluaran: $T$ baris berformat akar aktual prediksi.

masukan:
2
1 2 1.0 2.0
2 5 2.0 3.0

keluaran:
1.521380 20 20
2.094552 20 20

Petunjuk: gunakan bisection dari Task I apa adanya; kolom prediksi adalah pembuktian Lesson Learnt Task I bahwa jumlah iterasi bisection bisa dihitung sebelum eksekusi. Kasus kedua adalah persamaan legendaris Wallis yang dipecahkan Newton: $x^3-2x-5=0$.

Problem C. Mimpi Buruk Newton [C5 Evaluasi · Modul 3]

Diberikan $f(x)=x^3+px+q$ dengan $p,q$ bulat, dan tebakan awal $x_0$ (riil). Jalankan Newton-Raphson dengan stopping criterion (kriteria penghentian) $|f(x)|<{10}^{-12}$ dan batas 50 baris tercetak. Jika berhasil, cetak CONVERGED n x dengan $n$ jumlah baris tercetak (termasuk baris tebakan awal) dan $x$ dengan 10 desimal; jika tidak, cetak FAILED.

Masukan: baris pertama $T$; $T$ baris berisi p q x0.

Keluaran: $T$ baris hasil.

masukan:
2
-1 -2 1.5
-2 2 0.0

keluaran:
CONVERGED 4 1.5213797068
FAILED

Petunjuk: kasus pertama persis Task III. Pada kasus kedua, $f(x)=x^3-2x+2$ dengan $x_0=0$: telusuri sendiri lompatannya dan temukan pola osilasi $0\to 1\to 0\to 1$; kaitkan dengan nilai $f^{\prime }(x_0)$ yang kecil.

Problem D. Sinus Perlahan [C5 Evaluasi · Modul 2 + Modul 3]

Tanpa memanggil math.sin, implementasikan taylor_sin(x, n=15) dari Modul 2, lalu selesaikan $h(x)=\text{taylor\_sin}(x)-x/k=0$ pada interval $[1,\pi ]$ dengan bisection dan tolerance ${10}^{-7}$ (kriteria lebar interval). Keluarkan akar (6 desimal) dan jumlah iterasi.

Masukan: baris pertama $T$ ($1\le T\le 100$); $T$ baris masing-masing berisi satu bilangan bulat $k$ ($2\le k\le 100$).

Keluaran: $T$ baris berformat akar iterasi.

masukan:
3
2
4
100

keluaran:
1.895494 25
2.474577 25
3.110483 25

Petunjuk: karena $\sin (1)>1/k\ge 0.01$ dan $\sin (\pi )-\pi /k<0$, bracket valid untuk semua $k$ yang dijamin. Perhatikan bahwa jumlah iterasi selalu sama untuk semua $k$: bukti lain bahwa bisection tidak peduli bentuk fungsi.

Problem E. Waktu Naik (Rise Time) [C6 Mencipta · Modul 2 + Modul 3]

Rekonstruksi gelombang persegi dengan $N$ harmonik ganjil pertama (fungsi fourier_square dari Modul 2) naik dari 0 dan melintasi level 0.5 pada suatu saat $t$. Untuk $N$ ganjil ($1\le N\le 21$), tentukan $t$ penyeberangan pertama dengan menyelesaikan $f_N(t)=0.5$ menggunakan bisection pada interval $[0.0001,0.07]$ (dijamin mengurung penyeberangan pertama untuk seluruh rentang $N$) dan tolerance ${10}^{-7}$. Keluarkan $t$ (6 desimal) dan jumlah iterasi.

Masukan: baris pertama $T$; $T$ baris masing-masing berisi satu bilangan ganjil $N$.

Keluaran: $T$ baris berformat t iterasi.

masukan:
3
1
5
21

keluaran:
0.064229 20
0.021592 20
0.005895 20

Petunjuk: inilah pengukuran rise time pada dunia filter dan sinyal digital. Amati dua hal: jumlah iterasi konstan (jaminan bisection), sementara $t$ menyusut kurang lebih sebanding dengan $1/N$; makin banyak harmonik, makin tajam tepi sinyal. Jelaskan hubungan terakhir ini dalam komentar program Anda.

---

BAGIAN IV. MEDIA DAN MEKANISME PENGUMPULAN

Catatan pekan mandiri: tidak ada pengumpulan untuk Modul 3. Mekanisme berikut dicantumkan agar mahasiswa terbiasa dan siap ketika praktikum kembali ke pola reguler pada modul berikutnya.

IV.1. Media Pengumpulan

Media pengumpulan menggunakan Microsoft Teams (MS Teams) yang dapat diakses pada link berikut:

https://teams.microsoft.com

Kemudian masuk ke dalam Tim (Team) khusus untuk mata kuliah Komputasi Numerik.

IV.2. Mekanisme Pengumpulan

Mekanisme proses pengumpulan untuk modul praktikum ini mengikuti tahapan berikut:

1. Format penamaan notebook/berkas: gunakan format standar berikut.

   Tabel 8. Standar Penamaan Proyek dan Berkas Pengumpulan Praktikum Komputasi Numerik

   Kode	Penjelasan
   KN2026	Komputasi Numerik tahun 2026
   5A/5B	Kelas
   D4	Prodi D-4 Sarjana Terapan
   2024	Angkatan
   Modul3	Nomor Modul
   001	3 Digit NIM Terakhir

   Format berkas: [KN2026_5A_D4_2024]_Modul3_001.ipynb

2. Ekspor notebook Google Colab/Jupyter menjadi berkas .ipynb (File → Download → Download .ipynb). Apabila diperlukan, lampirkan juga hasil output dalam format .pdf atau .html.

3. Susun Laporan Praktikum (.pdf) yang mencakup:

   • Tangkapan layar (screenshot) notebook dan output yang dihasilkan.
   • Potongan kode (code snippet) Python (Task I, II, III, IV) beserta penjelasan fungsinya.
   • Analisis hasil eksekusi (Lesson Learnt) untuk tiap task.
   • Jawaban Tugas Praktikum (III.8).

4. Kompresi seluruh berkas menjadi satu arsip .zip dengan nama [KN2026_5A_D4_2024]_Modul3_001.zip.

5. Unggah arsip tersebut pada slot Tugas (Assignment) "Pengumpulan Praktikum Modul 3" di Microsoft Teams sebelum batas waktu berakhir.

---

BAGIAN V. PEMBAHASAN DAN EVALUASI HASIL PRAKTIKUM

Penilaian pada praktikum berdasarkan kriteria berikut:

Tabel 9. Rubrik dan Matriks Kriteria Penilaian Evaluasi Praktikum

Kriteria Penilaian	Skor ≥ 80 (A)	Skor 70–79.99 (AB/B)	Skor 60–69.99 (BC/C)	Skor < 60 (D/E)
Metode Tertutup (25%)	Bisection dan regula falsi benar, tabel iterasi lengkap, prediksi log₂ diverifikasi.	Kedua metode benar namun tanpa verifikasi prediksi iterasi.	Salah satu metode keliru / tabel tidak lengkap.	Kedua metode gagal berjalan.
Metode Terbuka (25%)	Newton dan secant benar, konvergensi kuadratik teridentifikasi dari data.	Kedua metode benar tanpa analisis orde.	Implementasi ada galat pada rumus iterasi.	Gagal mengimplementasikan metode terbuka.
Analisis Konvergensi (30%)	Perbandingan lima metode benar, grafik dibuat, trade-off jaminan versus kecepatan dijelaskan kritis.	Perbandingan benar, penjelasan trade-off permukaan.	Perbandingan sebagian benar.	Tidak ada analisis perbandingan.
Pelaporan & Lesson Learnt (20%)	Laporan sangat lengkap: screenshot, analisis kode, lesson learnt mendalam, jawaban tugas benar semua.	Laporan lengkap dengan screenshot dan penjelasan kode standar.	Laporan kurang detail, sebagian lesson learnt tidak dicantumkan.	Tidak mengumpulkan laporan / tidak sesuai format.

---

DAFTAR PUSTAKA

Burden, R. L., & Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis (9th ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning.

Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2015). Numerical Methods for Engineers (7th ed.). McGraw-Hill Education.

Gerald, C. F., & Wheatley, P. O. (2004). Applied Numerical Analysis (7th ed.). Pearson.

Munir, R. (2021). Metode Numerik (Edisi Revisi). Informatika, Bandung.

LAMPIRAN

Jika Ada